Exercício 5: Usando o teorema de Schwatz
Mostre que não existe
satisfazendo simultaneamente
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado dá que existem (ou supostamente existem) derivadas parciais de uma função
com:
- A tarefa é: mostrar que NÃO existe nenhuma função
que satisfaça simultaneamente essas duas igualdades em alguma região do plano.
Passo 2
Explicar o que diz o teorema de Schwarz (que é a ferramenta pedida) e as hipóteses que precisamos verificar.
- Notação:
significa , significa , e assim por diante. - Teorema de Schwarz (também chamado de teorema de Clairaut), em linguagem simples: se
tem segundas derivadas parciais contínuas numa região aberta (por exemplo ou qualquer conjunto aberto conexo), então as derivadas mistas são iguais:
para todos os pontos dessa região.
- Aqui as funções dadas
e são polinômios em . As segundas derivadas parciais que resultarem serão constantes, portanto são contínuas em todo . Logo as hipóteses do teorema de Schwarz estão satisfeitas se existisse tal .
Passo 3
Aplicar o teorema de Schwarz: calcular as derivadas mistas propostas e compará-las.
- Primeiro calculemos
, que é . Como , derivando em relação a obtemos:
- Agora calculemos
, que é . Como , derivando em relação a obtemos:
Passo 4
Comparar os resultados e concluir.
- Pelo teorema de Schwarz, se existisse
com as derivadas dadas então deveríamos ter . - Mas calculamos
e . Como , isso é uma contradição. - Portanto não pode existir nenhuma função
com segundas derivadas contínuas (e aqui nem precisávamos de mais: as dadas já são polinomiais) que satisfaça simultaneamente as duas igualdades originais.
Passo 5
(Ilustração alternativa — modo construtivo que também mostra a impossibilidade, útil para prova oral)
- Tentar construir
integrando em relação a :
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
- Calcular então
a partir dessa expressão:
- Mas o enunciado exige
. Igualando:
- O lado direito depende de
, enquanto só pode depender de . Isso é impossível. Logo novamente obtemos contradição e concluímos que não existe .
Resposta
Não existe função
satisfazendo simultaneamente
e
.