Exercício 5: Usando o teorema de Schwatz
Mostre que não existe F(x, y) satisfazendo simultaneamente
F_{x}(x, y)=2 x+3 y \text { e } F_{y}(x, y)=4 x+y

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado dá que existem (ou supostamente existem) derivadas parciais de uma função F(x,y) com:
F_{x}(x,y)=2x+3y
F_{y}(x,y)=4x+y
  • A tarefa é: mostrar que NÃO existe nenhuma função F(x,y) que satisfaça simultaneamente essas duas igualdades em alguma região do plano.

Passo 2

Explicar o que diz o teorema de Schwarz (que é a ferramenta pedida) e as hipóteses que precisamos verificar.
  • Notação: F_x significa \dfrac{\partial F}{\partial x}, F_{xy} significa \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\right), e assim por diante.
  • Teorema de Schwarz (também chamado de teorema de Clairaut), em linguagem simples: se F tem segundas derivadas parciais contínuas numa região aberta (por exemplo \mathbb{R}^2 ou qualquer conjunto aberto conexo), então as derivadas mistas são iguais:
F_{xy}(x,y)=F_{yx}(x,y)
para todos os pontos dessa região.
  • Aqui as funções dadas F_x=2x+3y e F_y=4x+y são polinômios em x,y. As segundas derivadas parciais que resultarem serão constantes, portanto são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Logo as hipóteses do teorema de Schwarz estão satisfeitas se existisse tal F.

Passo 3

Aplicar o teorema de Schwarz: calcular as derivadas mistas propostas e compará-las.
  • Primeiro calculemos (F_x)_y, que é F_{xy}. Como F_x(x,y)=2x+3y, derivando em relação a y obtemos:
F_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x+3y\bigr)=3.
  • Agora calculemos (F_y)_x, que é F_{yx}. Como F_y(x,y)=4x+y, derivando em relação a x obtemos:
F_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x+y\bigr)=4.

Passo 4

Comparar os resultados e concluir.
  • Pelo teorema de Schwarz, se existisse F com as derivadas dadas então deveríamos ter F_{xy}=F_{yx}.
  • Mas calculamos F_{xy}(x,y)=3 e F_{yx}(x,y)=4. Como 3\neq 4, isso é uma contradição.
  • Portanto não pode existir nenhuma função F(x,y) com segundas derivadas contínuas (e aqui nem precisávamos de mais: as dadas já são polinomiais) que satisfaça simultaneamente as duas igualdades originais.

Passo 5

(Ilustração alternativa — modo construtivo que também mostra a impossibilidade, útil para prova oral)
  • Tentar construir F integrando F_x em relação a x:
F(x,y)=\int\bigl(2x+3y\bigr)\,dx = x^{2}+3xy+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
  • Calcular então F_y a partir dessa expressão:
F_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+3xy+g(y)\bigr)=3x+g'(y).
  • Mas o enunciado exige F_{y}(x,y)=4x+y. Igualando:
3x+g'(y)=4x+y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=x+y.
  • O lado direito depende de x, enquanto g'(y) só pode depender de y. Isso é impossível. Logo novamente obtemos contradição e concluímos que não existe F.

Resposta

Não existe função F(x,y) satisfazendo simultaneamente F_{x}(x,y)=2x+3y e F_{y}(x,y)=4x+y.

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