Exercício 4: Determine todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem referentes a função:
F(x, y)=x^{3}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{3}-2y^{2}
e pede que eu determine todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem. Ou seja, preciso encontrar:
F_{x},\quad F_{y}
e
F_{xx},\quad F_{xy},\quad F_{yx},\quad F_{yy}.
As informações relevantes são exatamente os termos da função acima: \,x^{3}, \,x^{2}y^{3} e -2y^{2}.

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre o que é derivada parcial e as regras que vou usar.
  • Definição: a derivada parcial de F em relação a x, denotada F_{x}, é a derivada de F quando tratamos y como constante. Analogamente, F_{y} é a derivada quando tratamos x como constante.
  • Regras úteis:
    • Regra do poder (power rule): a derivada de u^{n} em relação a u é n u^{n-1}.
    • Regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Aplicação aqui: para o termo \,x^{2}y^{3} tenho um produto entre uma expressão em x e uma em y. Ao derivar em relação a x, o fator \,y^{3} é tratado como constante; ao derivar em relação a y, o fator \,x^{2} é tratado como constante.

Passo 3

Cálculo detalhado de F_{x} (derivada parcial de primeira ordem em relação a x).
  • Derivada de \,x^{3} em relação a x: pela regra do poder, \dfrac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada de \,x^{2}y^{3} em relação a x: como y^{3} é constante quando derivamos em x, \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)=\big(\dfrac{\partial}{\partial x}x^{2}\big)\,y^{3}=2x\,y^{3}.
  • Derivada de -2y^{2} em relação a x: é zero porque esse termo não depende de x.
    Somando os termos:
F_{x}(x,y)=3x^{2}+2x\,y^{3}.

Passo 4

Cálculo detalhado de F_{y} (derivada parcial de primeira ordem em relação a y).
  • Derivada de \,x^{3} em relação a y: zero, pois não depende de y.
  • Derivada de \,x^{2}y^{3} em relação a y: x^{2} é constante aqui, então pela regra do poder, \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de -2y^{2} em relação a y: pela regra do poder, \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2y^{2}\big)=-2\cdot 2y=-4y.
Somando:
F_{y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 5

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Começo por F_{xx}, que é a derivada em x de F_{x}.
Temos \,F_{x}(x,y)=3x^{2}+2x\,y^{3}.
  • Derivando termo a termo em relação a x (tratando y como constante):
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2})=6x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x\,y^{3})=2\,y^{3} (pois y^{3} é constante).
      Portanto,
F_{xx}(x,y)=6x+2y^{3}.

Passo 6

Cálculo de F_{xy}, que é a derivada em y de F_{x} (primeiro em x, depois em y).
Parto de \,F_{x}(x,y)=3x^{2}+2x\,y^{3}.
  • Derivando em relação a y (agora x é constante):
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^{2})=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x\,y^{3})=2x\cdot 3y^{2}=6x\,y^{2}.
      Logo
F_{xy}(x,y)=6x\,y^{2}.

Passo 7

Cálculo de F_{yy}, derivando F_{y} em relação a y.
Temos \,F_{y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y.
  • Derivando termo a termo em y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{2})=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-4y)=-4.
      Portanto
F_{yy}(x,y)=6x^{2}y-4.

Passo 8

Cálculo de F_{yx}, derivando F_{y} em relação a x (primeiro em y, depois em x), para verificar a simetria das mistas.
Parto de \,F_{y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y.
  • Derivando em relação a x (tratando y como constante):
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2})=3\cdot 2x\cdot y^{2}=6x\,y^{2}.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-4y)=0.
      Logo
F_{yx}(x,y)=6x\,y^{2}.
Observação: aqui F_{xy}=F_{yx}=6x\,y^{2}. Isso acontece porque F é um polinômio (função suave), logo as derivadas mistas são iguais (teorema de Clairaut).

Resposta

F_{x}(x,y)=3x^{2}+2x\,y^{3}\n
F_{y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y\n
F_{xx}(x,y)=6x+2y^{3}\n
F_{xy}(x,y)=6x\,y^{2}\n
F_{yx}(x,y)=6x\,y^{2}\n
F_{yy}(x,y)=6x^{2}y-4

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