Exercício 4: Determine todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem referentes a função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem. Ou seja, preciso encontrar:
e
As informações relevantes são exatamente os termos da função acima:
,
e
.
Passo 2
Lembrete rápido e didático sobre o que é derivada parcial e as regras que vou usar.
- Definição: a derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada de quando tratamos como constante. Analogamente, é a derivada quando tratamos como constante. - Regras úteis:
- Regra do poder (power rule): a derivada de
em relação a é . - Regra do produto: se
então .
- Regra do poder (power rule): a derivada de
- Aplicação aqui: para o termo
tenho um produto entre uma expressão em e uma em . Ao derivar em relação a , o fator é tratado como constante; ao derivar em relação a , o fator é tratado como constante.
Passo 3
Cálculo detalhado de
(derivada parcial de primeira ordem em relação a
).
- Derivada de
em relação a : pela regra do poder, . - Derivada de
em relação a : como é constante quando derivamos em , - Derivada de
em relação a : é zero porque esse termo não depende de .
Somando os termos:
Passo 4
Cálculo detalhado de
(derivada parcial de primeira ordem em relação a
).
- Derivada de
em relação a : zero, pois não depende de . - Derivada de
em relação a : é constante aqui, então pela regra do poder, - Derivada de
em relação a : pela regra do poder,
Somando:
Passo 5
Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Começo por
, que é a derivada em
de
.
Temos
.
- Derivando termo a termo em relação a
(tratando como constante): -
. -
(pois é constante).
Portanto,
-
Passo 6
Cálculo de
, que é a derivada em
de
(primeiro em
, depois em
).
Parto de
.
- Derivando em relação a
(agora é constante): -
. -
.
Logo
-
Passo 7
Cálculo de
, derivando
em relação a
.
Temos
.
- Derivando termo a termo em
: -
. -
.
Portanto
-
Passo 8
Cálculo de
, derivando
em relação a
(primeiro em
, depois em
), para verificar a simetria das mistas.
Parto de
.
- Derivando em relação a
(tratando como constante): -
. -
.
Logo
-
Observação: aqui
. Isso acontece porque
é um polinômio (função suave), logo as derivadas mistas são iguais (teorema de Clairaut).