Exercício 3: considere a função seguir :
a) Calcule as derivadas parciais em relação a
e a y no ponto
b) Determine o plano tangente ao gráfico de F no ponto
b) Determine o plano tangente ao gráfico de F no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular as derivadas parciais de
em relação a e a no ponto . - (b) Determinar o plano tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações relevantes dadas:
- A função explícita
. - O ponto onde avaliar e construir o plano tangente é
.
Passo 2
O que é derivada parcial e como vamos calcular:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a taxa de variação de quando varia e é mantido fixo. - A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a taxa de variação de quando varia e é mantido fixo.
Para calcular derivadas parciais de funções que são produto de fatores e que têm uma função composta (como
), vamos usar duas regras:
- Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia: se
e , então
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calculando
.
Escrevendo
(uso
em TeX, que corresponde a
):
- Aplique a regra do produto com
e . - Primeiro termo:
. Então contribui . - Segundo termo:
. Agora use a regra da cadeia: - Tome
. Então (pois é constante ao derivar em relação a ). - Logo
.
- Tome
- Portanto o segundo termo é
.
Somando os dois termos:
Passo 4
Avaliar
no ponto
.
Primeiro calcule o argumento
em
:
Então substituindo em
:
Calcule
. Portanto
Observação: os valores
e
estão em radianos.
Passo 5
Calculando
.
Agora
é tratado como constante. Partimos de
.
- Aqui
fora do seno é fator constante multiplicativo ao derivar em relação a . Então
- Aplicando a regra da cadeia para
com : (agora é constante). - Logo
- Multiplicando pelo
fora, obtemos
Passo 6
Avaliar
no ponto
.
Usando
(já calculado),
Passo 7
Calcular
(valor da função no ponto) — necessário para o plano tangente.
Passo 8
Construir o plano tangente.
Para a superfície
, o plano tangente em
com
é dado por
Aqui
,
,
e
.
Substituindo:
Esse é o plano tangente pedido. Pode-se deixar nessa forma (ponto‑declive) ou expandir se preferir.
Resposta
(a)
,
\n
(b)
(b)