Exercício 3: considere a função seguir :
F(x, y)=x \cdot \operatorname{sen}\left(x^{2} y\right),
a) Calcule as derivadas parciais em relação a x e a y no ponto P(3,2)
b) Determine o plano tangente ao gráfico de F no ponto \mathrm{P}(3,2)

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=x\cdot \operatorname{sen}\!\left(x^{2}y\right)
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular as derivadas parciais de F em relação a x e a y no ponto P(3,2).
  • (b) Determinar o plano tangente ao gráfico de F no ponto P(3,2).
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita F(x,y)=x\cdot \operatorname{sen}\!\left(x^{2}y\right).
  • O ponto onde avaliar e construir o plano tangente é P=(3,2).

Passo 2

O que é derivada parcial e como vamos calcular:
  • A derivada parcial de F em relação a x, denotada \dfrac{\partial F}{\partial x}, é a taxa de variação de F quando x varia e y é mantido fixo.
  • A derivada parcial de F em relação a y, denotada \dfrac{\partial F}{\partial y}, é a taxa de variação de F quando y varia e x é mantido fixo.
Para calcular derivadas parciais de funções que são produto de fatores e que têm uma função composta (como \sin(x^2 y)), vamos usar duas regras:
  1. Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u v\bigr)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  1. Regra da cadeia: se g(t)=\sin(t) e t(x,y)=x^{2}y, então
\frac{\partial}{\partial x} \sin\bigl(t(x,y)\bigr)=\cos\bigl(t(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial t}{\partial x}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calculando \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y).
Escrevendo F(x,y)=x\cdot \sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) (uso \sin em TeX, que corresponde a \operatorname{sen}):
  • Aplique a regra do produto com u(x,y)=x e v(x,y)=\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Primeiro termo: \dfrac{\partial u}{\partial x}=1. Então contribui 1\cdot \sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Segundo termo: u\cdot \dfrac{\partial v}{\partial x}=x\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr). Agora use a regra da cadeia:
    • Tome t(x,y)=x^{2}y. Então \dfrac{\partial t}{\partial x}=2x y (pois y é constante ao derivar em relação a x).
    • Logo \dfrac{\partial}{\partial x}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)=\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot(2x y).
  • Portanto o segundo termo é x\cdot \bigl(\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot 2x y\bigr)=2x^{2}y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).
Somando os dois termos:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)+2x^{2}y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 4

Avaliar \dfrac{\partial F}{\partial x} no ponto P(3,2).
Primeiro calcule o argumento x^{2}y em P:
x^{2}y\Big|_{(3,2)}=3^{2}\cdot 2=9\cdot2=18.
Então substituindo em \dfrac{\partial F}{\partial x}:
\frac{\partial F}{\partial x}(3,2)=\sin(18)+2\cdot 3^{2}\cdot 2\cdot\cos(18).
Calcule 2\cdot 3^{2}\cdot 2=2\cdot 9\cdot 2=36. Portanto
\frac{\partial F}{\partial x}(3,2)=\sin(18)+36\cos(18).
Observação: os valores \sin(18) e \cos(18) estão em radianos.

Passo 5

Calculando \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y).
Agora x é tratado como constante. Partimos de F(x,y)=x\cdot \sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Aqui x fora do seno é fator constante multiplicativo ao derivar em relação a y. Então
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Aplicando a regra da cadeia para \sin(t) com t(x,y)=x^{2}y: \dfrac{\partial t}{\partial y}=x^{2} (agora x é constante).
  • Logo
\frac{\partial}{\partial y}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)=\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot x^{2}.
  • Multiplicando pelo x fora, obtemos
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=x\cdot \bigl(x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\bigr)=x^{3}\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 6

Avaliar \dfrac{\partial F}{\partial y} no ponto P(3,2).
Usando x^{2}y\big|_{(3,2)}=18 (já calculado),
\frac{\partial F}{\partial y}(3,2)=3^{3}\cos(18)=27\cos(18).

Passo 7

Calcular F(3,2) (valor da função no ponto) — necessário para o plano tangente.
F(3,2)=3\cdot \sin\!\bigl(3^{2}\cdot 2\bigr)=3\sin(18).

Passo 8

Construir o plano tangente.
Para a superfície z=F(x,y), o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) com z_{0}=F(x_{0},y_{0}) é dado por
z=z_{0}+\frac{\partial F}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial F}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0})=(3,2), z_{0}=3\sin(18),
\dfrac{\partial F}{\partial x}(3,2)=\sin(18)+36\cos(18) e \dfrac{\partial F}{\partial y}(3,2)=27\cos(18).
Substituindo:
z=3\sin(18)+\bigl(\sin(18)+36\cos(18)\bigr)\,(x-3)+27\cos(18)\,(y-2).
Esse é o plano tangente pedido. Pode-se deixar nessa forma (ponto‑declive) ou expandir se preferir.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(3,2)=\sin(18)+36\cos(18), \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(3,2)=27\cos(18)\n
(b) \displaystyle z=3\sin(18)+\bigl(\sin(18)+36\cos(18)\bigr)(x-3)+27\cos(18)(y-2)

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