Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular:
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
definida por
Informações relevantes fornecidas:
- As duas primeiras desigualdades para
e implicam que a projeção de no plano é o quarto de disco de raio : ou seja, , e . - As desigualdades em
são - limite inferior:
; - limite superior:
.
- limite inferior:
- O pedido é calcular a integral de volume
.
Passo 2
Vou explicar as coordenadas esféricas e o elemento de volume (a parte didática que você pediu).
- Em coordenadas esféricas convencionais usamos
(distância à origem), (ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo ) e (ângulo polar contado a partir do eixo , isto é, sobre o eixo positivo). - As relações com as coordenadas cartesianas são
Aqui: -
é a distância do ponto à origem; -
é o ângulo no plano (vai de a em geral); -
é o ângulo a partir do eixo (vai de a em geral).
-
- O elemento de volume em esféricas é
Explicação rápida: o fator é o jacobiano da mudança de variáveis — ele mede como pequenas fatias em se transformam em pequenos volumes em .
Passo 3
Converter as desigualdades do enunciado para esféricas, passo a passo.
- Das condições sobre
e : como e e , a projeção no plano é o quarto de disco de raio . Em termos de e da coordenada radial no plano (que é ), isso dá Ou seja, há a condição a partir do limite . - Da desigualdade inferior em
: vira Para isso equivale a , logo Observação: o caso é apenas a origem e está incluído naturalmente. - Da desigualdade superior em
: . Elevando ao quadrado (todos os lados não-negativos) obtemos ou seja
Passo 4
Combinar as restrições e verificar qual é o limite efetivo para
.
- Até agora temos
além da condição proveniente de . - Precisamos checar se
reduz o teto . Note que para vale . Assim para qualquer nesse intervalo Se tomarmos então . Portanto a condição já é garantida por quando . - Conclusão das faixas de integração (sem restrição adicional):
Passo 5
Montar a integral de volume em coordenadas esféricas usando as faixas obtidas.
- O volume é
Repare que coloquei o fator jacobiano dentro da integral.
Passo 6
Calcular a integral iteradamente, explicando cada passo.
- Integrar em
primeiro: Comentário: . - Substituindo esse resultado, a integral fica
- Calcular as integrais restantes:
Passo 7
Juntar os resultados e simplificar cuidadosamente.
- Multiplicando os fatores:
- Simplificar:
. Então - Fazer a fatoração
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