Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular:
\iiint_{T} d V, T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}}, \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq\right.\left.z \leq \sqrt{2-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right\}\

Passo 1

O enunciado pede o volume da região T definida por
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le1,\;0\le y\le\sqrt{1-x^2},\;\sqrt{x^2+y^2}\le z\le\sqrt{2-(x^2+y^2)}\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas primeiras desigualdades para x e y implicam que a projeção de T no plano xy é o quarto de disco de raio 1: ou seja, x\ge0, y\ge0 e x^2+y^2\le1.
  • As desigualdades em z são
    • limite inferior: z\ge\sqrt{x^2+y^2};
    • limite superior: z\le\sqrt{2-(x^2+y^2)}.
  • O pedido é calcular a integral de volume \iiint_{T} dV.

Passo 2

Vou explicar as coordenadas esféricas e o elemento de volume (a parte didática que você pediu).
  • Em coordenadas esféricas convencionais usamos \rho\ge0 (distância à origem), \theta (ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x) e \varphi (ângulo polar contado a partir do eixo z, isto é, \varphi=0 sobre o eixo z positivo).
  • As relações com as coordenadas cartesianas são x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Aqui:
    • \rho é a distância do ponto à origem;
    • \theta é o ângulo no plano xy (vai de 0 a 2\pi em geral);
    • \varphi é o ângulo a partir do eixo z (vai de 0 a \pi em geral).
  • O elemento de volume em esféricas é dV=\rho^2\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.Explicação rápida: o fator \rho^2\sin\varphi é o jacobiano da mudança de variáveis — ele mede como pequenas fatias em (\rho,\varphi,\theta) se transformam em pequenos volumes em (x,y,z).

Passo 3

Converter as desigualdades do enunciado para esféricas, passo a passo.
  • Das condições sobre x e y: como 0\le x e 0\le y e x^2+y^2\le1, a projeção no plano xy é o quarto de disco de raio 1. Em termos de \theta e da coordenada radial no plano xy (que é r=\sqrt{x^2+y^2}), isso dá 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad r=\rho\sin\varphi\le1.Ou seja, há a condição \rho\sin\varphi\le1 a partir do limite r\le1.
  • Da desigualdade inferior em z: z\ge\sqrt{x^2+y^2} vira \rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi.Para \rho>0 isso equivale a \cos\varphi\ge\sin\varphi, logo \tan\varphi\le1\quad\Longrightarrow\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4}.Observação: o caso \rho=0 é apenas a origem e está incluído naturalmente.
  • Da desigualdade superior em z: z\le\sqrt{2-(x^2+y^2)}. Elevando ao quadrado (todos os lados não-negativos) obtemos z^2 \le 2-(x^2+y^2)\quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2+z^2\le2,ou seja \rho^2 \le 2\quad\Longrightarrow\quad 0\le\rho\le\sqrt{2}.

Passo 4

Combinar as restrições e verificar qual é o limite efetivo para \rho.
  • Até agora temos 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\qquad 0\le\rho\le\sqrt{2},além da condição \rho\sin\varphi\le1 proveniente de r\le1.
  • Precisamos checar se \rho\sin\varphi\le1 reduz o teto \rho\le\sqrt{2}. Note que para 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4} vale \sin\varphi\le\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim para qualquer \varphi nesse intervalo \rho\sin\varphi \le \rho\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}.Se tomarmos \rho\le\sqrt{2} então \rho\sin\varphi \le \sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=1. Portanto a condição \rho\sin\varphi\le1 já é garantida por \rho\le\sqrt{2} quando \varphi\in[0,\pi/4].
  • Conclusão das faixas de integração (sem restrição adicional): 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\qquad 0\le\rho\le\sqrt{2}.

Passo 5

Montar a integral de volume em coordenadas esféricas usando as faixas obtidas.
  • O volume é \iiint_{T} dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{\sqrt{2}} \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\; d\varphi\; d\theta.Repare que coloquei o fator jacobiano \rho^{2}\sin\varphi dentro da integral.

Passo 6

Calcular a integral iteradamente, explicando cada passo.
  • Integrar em \rho primeiro: \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^{2}\, d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.Comentário: (\sqrt{2})^{3}=(\sqrt{2})\cdot(\sqrt{2})\cdot(\sqrt{2})=2\sqrt{2}.
  • Substituindo esse resultado, a integral fica \iiint_{T} dV = \int_{0}^{\pi/2} \! d\theta \; \int_{0}^{\pi/4} \! \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\sin\varphi\; d\varphi = \left(\int_{0}^{\pi/2} d\theta\right)\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\left(\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\; d\varphi\right).
  • Calcular as integrais restantes: \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\; d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/4} = -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos 0 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = 1-\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Juntar os resultados e simplificar cuidadosamente.
  • Multiplicando os fatores: \iiint_{T} dV = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Simplificar: \frac{\pi}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\pi\sqrt{2}}{3}. Então \iiint_{T} dV = \frac{\pi\sqrt{2}}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Fazer a fatoração \sqrt{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}-1. Logo \iiint_{T} dV = \frac{\pi}{3}\,(\sqrt{2}-1).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}\,(\sqrt{2}-1)

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