Exercício 2. Use coordenadas cilíndricas para calcular:
O volume do sólido limitado por acima pela superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}= 25 e em baixo por o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Superfície superior: \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\, (esfera de raio 5 centrada na origem).
  • Superfície inferior: \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+1\; (em coordenadas cartesianas, é um cone deslocado para cima; observe que \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0).
  • O enunciado pede o volume do sólido limitado por cima pela esfera e por baixo pelo cone deslocado (ou seja, o conjunto dos pontos que satisfazem que o z está entre a superfície do cone e a superfície da esfera).
Pergunta a responder: qual é o volume do sólido descrito acima?

Passo 2

Escolha do método e motivo (explicação amiga, curta e prática).
  • Escolho usar coordenadas cilíndricas porque as superfícies envolvem x^{2}+y^{2} de forma radial (esfera e cone típico dependem de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), e em cilíndricas essas expressões ficam simples. Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge0 é a distância radial ao eixo z, e \theta é o ângulo polar. O elemento de volume (Jacobiano) é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Vou montar o integral triplo em cilíndricas.

Passo 3

Converter as superfícies para coordenadas cilíndricas.
  • Para a esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=25, substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} obtemos
r^{2}+z^{2}=25 \quad\Longrightarrow\quad z=\pm\sqrt{25-r^{2}}.
Como a esfera é a fronteira superior do sólido, usamos a solução positiva:
z_{\text{superior}}=\sqrt{25-r^{2}}.
  • Para o cone dado \,z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+1, substituindo obtemos
z_{\text{inferior}}=r+1.
Portanto, em cilíndricas o sólido é dado por pontos com
r+1 \le z \le \sqrt{25-r^{2}},
para r e \theta em faixas a determinar.

Passo 4

Determinar o domínio (valores de r e \theta) encontrando a curva de interseção entre a esfera e o cone.
A interseção ocorre quando
r+1=\sqrt{25-r^{2}}.
Como ambos os lados são \ge0, podemos elevar ao quadrado sem mudar desigualdades:
(r+1)^{2}=25-r^{2}.
Desenvolvendo e rearranjando:
r^{2}+2r+1=25-r^{2}\quad\Longrightarrow\quad 2r^{2}+2r-24=0.
Dividindo por 2:
r^{2}+r-12=0.
Resolvendo a quadrática (fórmula ou fatoração):
r=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}.
As soluções são r=3 e r=-4. Como r\ge0, a interseção física é em r=3. Logo o intervalo radial do sólido é
0\le r\le 3.
O ângulo \theta percorre todo o círculo, então
0\le \theta \le 2\pi.

Passo 5

Montar o integral de volume em coordenadas cilíndricas.
O volume é o triplo integral de dV=r\,dz\,dr\,d\theta sobre o domínio. Assim
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=r+1}^{\sqrt{25-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em z primeiro (é direta).
Integrando em z:
\int_{z=r+1}^{\sqrt{25-r^{2}}} r\,dz = r\bigl(\sqrt{25-r^{2}}-(r+1)\bigr).
Portanto
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r\bigl(\sqrt{25-r^{2}}-(r+1)\bigr)\,dr\,d\theta.
Como o integrando não depende de \theta, a integral em \theta só multiplica por 2\pi:
V=2\pi\int_{0}^{3} r\bigl(\sqrt{25-r^{2}}-(r+1)\bigr)\,dr.

Passo 7

Separar o integral em termos mais simples e preparar para integrar.
Escrevendo a integral como soma:
V=2\pi\left(\int_{0}^{3} r\sqrt{25-r^{2}}\,dr \;-\; \int_{0}^{3} r^{2}\,dr \;-\; \int_{0}^{3} r\,dr\right).
Vou calcular cada integral separadamente.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{3} r\sqrt{25-r^{2}}\,dr por substituição.
Faça u=25-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou r\,dr=-\tfrac{1}{2}du.
Quando r=0, u=25. Quando r=3, u=25-9=16.
Logo
\int_{0}^{3} r\sqrt{25-r^{2}}\,dr = \int_{u=25}^{16} \sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\right)du = \tfrac{1}{2}\int_{16}^{25} u^{1/2}\,du.
Integrando:
\tfrac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{16}^{25} = \tfrac{1}{3}\bigl(25^{3/2}-16^{3/2}\bigr).
Calcule as potências:
25^{3/2}=(\sqrt{25})^{3}=5^{3}=125,\qquad 16^{3/2}=4^{3}=64.
Portanto
\int_{0}^{3} r\sqrt{25-r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{3}(125-64)=\tfrac{61}{3}.

Passo 9

Calcular as integrais restantes (polinomiais simples).
  • Para \displaystyle \int_{0}^{3} r^{2}\,dr:
\int_{0}^{3} r^{2}\,dr = \left[\tfrac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \tfrac{27}{3}=9.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{3} r\,dr:
\int_{0}^{3} r\,dr = \left[\tfrac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \tfrac{9}{2}.

Passo 10

Combinar os resultados e multiplicar por 2\pi.
Primeiro combine as três integrais:
\int_{0}^{3} r\bigl(\sqrt{25-r^{2}}-(r+1)\bigr)\,dr = \tfrac{61}{3} - 9 - \tfrac{9}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
\tfrac{61}{3}=\tfrac{122}{6},\quad 9=\tfrac{54}{6},\quad \tfrac{9}{2}=\tfrac{27}{6}.
Logo
\tfrac{122}{6}-\tfrac{54}{6}-\tfrac{27}{6}=\tfrac{122-81}{6}=\tfrac{41}{6}.
Multiplicando por 2\pi:
V=2\pi\cdot\tfrac{41}{6}=\tfrac{82\pi}{6}=\tfrac{41\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{41\pi}{3}

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