Exercício 2. Use coordenadas cilíndricas para calcular:
O volume do sólido limitado por acima pela superfície
25 e em baixo por o cone
.
O volume do sólido limitado por acima pela superfície
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Superfície superior:
(esfera de raio centrada na origem). - Superfície inferior:
(em coordenadas cartesianas, é um cone deslocado para cima; observe que ). - O enunciado pede o volume do sólido limitado por cima pela esfera e por baixo pelo cone deslocado (ou seja, o conjunto dos pontos que satisfazem que o
está entre a superfície do cone e a superfície da esfera).
Pergunta a responder: qual é o volume do sólido descrito acima?
Passo 2
Escolha do método e motivo (explicação amiga, curta e prática).
- Escolho usar coordenadas cilíndricas porque as superfícies envolvem
de forma radial (esfera e cone típico dependem de ), e em cilíndricas essas expressões ficam simples. Em coordenadas cilíndricas usamos
onde
é a distância radial ao eixo
, e
é o ângulo polar. O elemento de volume (Jacobiano) é
Vou montar o integral triplo em cilíndricas.
Passo 3
Converter as superfícies para coordenadas cilíndricas.
- Para a esfera
, substituindo obtemos
Como a esfera é a fronteira superior do sólido, usamos a solução positiva:
- Para o cone dado
, substituindo obtemos
Portanto, em cilíndricas o sólido é dado por pontos com
para
e
em faixas a determinar.
Passo 4
Determinar o domínio (valores de
e
) encontrando a curva de interseção entre a esfera e o cone.
A interseção ocorre quando
Como ambos os lados são
, podemos elevar ao quadrado sem mudar desigualdades:
Desenvolvendo e rearranjando:
Dividindo por
:
Resolvendo a quadrática (fórmula ou fatoração):
As soluções são
e
. Como
, a interseção física é em
. Logo o intervalo radial do sólido é
O ângulo
percorre todo o círculo, então
Passo 5
Montar o integral de volume em coordenadas cilíndricas.
O volume é o triplo integral de
sobre o domínio. Assim
Passo 6
Calcular a integral em
primeiro (é direta).
Integrando em
:
Portanto
Como o integrando não depende de
, a integral em
só multiplica por
:
Passo 7
Separar o integral em termos mais simples e preparar para integrar.
Escrevendo a integral como soma:
Vou calcular cada integral separadamente.
Passo 8
Calcular
por substituição.
Faça
. Então
, ou
.
Quando ,
. Quando
,
.
Quando
Logo
Integrando:
Calcule as potências:
Portanto
Passo 9
Calcular as integrais restantes (polinomiais simples).
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Combinar os resultados e multiplicar por
.
Primeiro combine as três integrais:
Colocando em denominador comum
:
Logo
Multiplicando por
: