Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular:
O volume do sólido limitado pela superfície \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=2 z\left(x^{2}+\right. y^{2} ).

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=2z\left(x^{2}+y^{2}\right)
e pede o volume do sólido limitado por essa superfície. Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A superfície é dada por uma equação algébrica em x,y,z.
  • O sólido é a região 3D encerrada por essa superfície (inclui a origem se a superfície passa por ela).
  • A tarefa é calcular o volume dessa região.

Passo 2

Mudança para coordenadas esféricas — explicando o que é e por que usar:
  • Em coordenadas esféricas toma-se
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo colatitude (entre o vetor posição e o eixo z), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Motivo prático: a superfície envolve somente funções de x^{2}+y^{2}+z^{2}, x^{2}+y^{2} e z, que ficam muito simples em esféricas (dependem só de \rho e \varphi), então a integral de volume fica tratável.

Passo 3

Converter a equação da superfície para esféricas:
  • Primeiro note que x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e z=\rho\cos\varphi.
  • Substituindo na equação da superfície:
\left(\rho^{2}\right)^{2}=2\left(\rho\cos\varphi\right)\left(\rho^{2}\sin^{2}\varphi\right).
  • Simplificando:
\rho^{4}=2\rho^{3}\cos\varphi\sin^{2}\varphi.
  • Para \rho\neq 0 divide-se por \rho^{3} e obtém-se a forma radial da superfície:
\rho=2\cos\varphi\sin^{2}\varphi.
Observação sobre o domínio: a fórmula dá \rho\ge 0 somente quando 2\cos\varphi\sin^{2}\varphi\ge 0. Como \sin^{2}\varphi\ge 0 sempre, a condição é \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Em \varphi=0 e em \varphi=\tfrac{\pi}{2} a função radial vale zero, então a superfície fecha no eixo z no topo e na base do semiespaço positivo de z. Conclui-se que o sólido está contido na meia-esfera superior ( z\ge 0) e é descrito por \rho variando de 0 até \rho(\varphi)=2\cos\varphi\sin^{2}\varphi, com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \theta\in[0,2\pi).

Passo 4

Escrever a integral de volume em esféricas:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2\cos\varphi\sin^{2}\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação: para cada direção (\varphi,\theta) no domínio indicado, \rho vai de 0 até a superfície \rho(\varphi). O fator \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano da transformação (dá a relação entre um pequeno volume em esféricas e em cartesiano).

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • Integração em \rho:
\int_{0}^{2\cos\varphi\sin^{2}\varphi}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2\cos\varphi\sin^{2}\varphi}=\frac{1}{3}\big(2\cos\varphi\sin^{2}\varphi\big)^{3}.
  • Substituindo na integral total:
V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{3}\big(2\cos\varphi\sin^{2}\varphi\big)^{3}\sin\varphi\,d\varphi.
  • Integrando em \theta (é trivial, dá um fator 2\pi):
V=\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi/2}\big(2\cos\varphi\sin^{2}\varphi\big)^{3}\sin\varphi\,d\varphi.
  • Simplificar a potência:
\big(2\cos\varphi\sin^{2}\varphi\big)^{3}=8\cos^{3}\varphi\sin^{6}\varphi,
portanto o integrando total em \varphi é 8\cos^{3}\varphi\sin^{6}\varphi\cdot\sin\varphi=8\cos^{3}\varphi\sin^{7}\varphi. Assim
V=\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi/2}8\cos^{3}\varphi\sin^{7}\varphi\,d\varphi=\frac{16\pi}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\varphi\sin^{7}\varphi\,d\varphi.

Passo 6

Resolver a integral angular com substituição simples — explicando a ideia:
  • Escrever \cos^{3}\varphi=\cos^{2}\varphi\cdot\cos\varphi=(1-\sin^{2}\varphi)\cos\varphi. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\varphi\sin^{7}\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{7}\varphi(1-\sin^{2}\varphi)\cos\varphi\,d\varphi.
  • Fazer a substituição u=\sin\varphi. Então du=\cos\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 tem u=0; quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} tem u=1.
  • A integral passa a ser
\int_{0}^{1}u^{7}(1-u^{2})\,du=\int_{0}^{1}(u^{7}-u^{9})\,du.
  • Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1}u^{7}\,du=\left.\frac{u^{8}}{8}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{8}, \qquad \int_{0}^{1}u^{9}\,du=\left.\frac{u^{10}}{10}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{10}.
  • Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\varphi\sin^{7}\varphi\,d\varphi=\frac{1}{8}-\frac{1}{10}=\frac{1}{40}.

Passo 7

Concluir o volume substituindo o valor da integral:
V=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{1}{40}=\frac{16\pi}{120}=\frac{2\pi}{15}.
Pequena verificação de consistência: o resultado é positivo e tem a forma \text{const}\times\pi, típica de volumes com simetria axial.

Resposta

\dfrac{2\pi}{15}

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