Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular: O volume do sólido limitado pela superfície \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=2 z\left(x^{2}+\right. y^{2} ).
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo colatitude (entre o vetor posição e o eixo z), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Motivo prático: a superfície envolve somente funções de x^{2}+y^{2}+z^{2}, x^{2}+y^{2} e z, que ficam muito simples em esféricas (dependem só de \rho e \varphi), então a integral de volume fica tratável.
Passo 3
Converter a equação da superfície para esféricas:
Primeiro note que x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e z=\rho\cos\varphi.
Para \rho\neq 0 divide-se por \rho^{3} e obtém-se a forma radial da superfície:
\rho=2\cos\varphi\sin^{2}\varphi.
Observação sobre o domínio: a fórmula dá \rho\ge 0 somente quando 2\cos\varphi\sin^{2}\varphi\ge 0. Como \sin^{2}\varphi\ge 0 sempre, a condição é \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Em \varphi=0 e em \varphi=\tfrac{\pi}{2} a função radial vale zero, então a superfície fecha no eixo z no topo e na base do semiespaço positivo de z. Conclui-se que o sólido está contido na meia-esfera superior (z\ge 0) e é descrito por \rho variando de 0 até \rho(\varphi)=2\cos\varphi\sin^{2}\varphi, com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \theta\in[0,2\pi).
Explicação: para cada direção (\varphi,\theta) no domínio indicado, \rho vai de 0 até a superfície \rho(\varphi). O fator \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano da transformação (dá a relação entre um pequeno volume em esféricas e em cartesiano).