Exercício 5. Use o exercício anterior para mostrar que a solução geral da equação de Airy
é
Passo 1
O enunciado pede expressar a solução geral de
(equação de Airy) em termos de funções de Bessel de ordem
. Vamos usar a dica do exercício anterior de fazer uma mudança de variável e extrair uma potência de
para transformar Airy numa equação de Bessel.
Passo 2
Definimos
Essa escolha é clássica para ligar as equações de Airy e de Bessel.
Passo 3
Como
, calculamos
onde
. Aqui aplicamos a regra da cadeia em cada derivada.
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Multiplicando tudo por
e usando
chegamos a
que é exatamente a equação de Bessel de ordem
.
Passo 5
A solução geral da equação de Bessel de ordem
é
Para
ficamos com
Voltando à variável
com
, a solução geral de Airy é