Exercício 5. Use o exercício anterior para mostrar que a solução geral da equação de Airy y^prime prime+x y=0 é
y=x^12(C1 J13(23 x^32)+C2 J-13(23 x^32))

Passo 1

O enunciado pede expressar a solução geral de ,y''+x,y=0 (equação de Airy) em termos de funções de Bessel de ordem pmtfrac13. Vamos usar a dica do exercício anterior de fazer uma mudança de variável e extrair uma potência de x para transformar Airy numa equação de Bessel.

Passo 2

Definimos
t = 23,x^32, y(x) = x^12,Z(t)
Essa escolha é clássica para ligar as equações de Airy e de Bessel.

Passo 3

Como ,dt/dx=x^12, calculamos
y' = 12,x^-12Z + x,Z', y'' = -14,x^-32Z + 32,Z' + x^32,Z'',
onde Z' = dZ/dt. Aqui aplicamos a regra da cadeia em cada derivada.

Passo 4

Substituindo em ,y''+x,y=0 obtemos
-tfrac14,x^-tfrac32Z + tfrac32,Z' + x^tfrac32Z'' + x^tfrac32Z = 0
Multiplicando tudo por x^tfrac32 e usando
x^tfrac32=tfrac32,t, x^3=(x^tfrac32)^2=l(tfrac32,tr)^2=tfrac94,t^2,
chegamos a
t^2,Z'' + t,Z' + l(t^2 - tfrac19r)Z = 0,
que é exatamente a equação de Bessel de ordem nu=tfrac13.

Passo 5

A solução geral da equação de Bessel de ordem nu é
Z(t) = C1,Jnu(t) + C2,J-nu(t)
Para nu=tfrac13 ficamos com
Z(t) = C1,J13(t) + C2,J-13(t)
Voltando à variável x com t=tfrac23x^32, a solução geral de Airy é
y(x) = x^12l(C1,J13l(tfrac23,x^tfrac32r) + C2,J-13l(tfrac23,x^tfrac32r)r)

Resposta

y(x) = x^12l(C1,J13l(tfrac23,x^tfrac32r) + C2,J-13l(tfrac23,x^tfrac32r)r)

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