Exercício 2.1 Use a função imposto de renda dado no Exemplo 2.8 para responder os seguintes itens.
(a) Qual é o valor do imposto de renda retido na fonte de um trabalhador no regime CLT com rendimento tributável mensal de \mathrm{R} \ 3500,00$ ?
(b) Se o mesmo trabalhador do item (a) receber um aumento salarial de tal forma que seu rendimento tributável vem a ser \mathrm{R} \ 4200,00$. Qual é o valor da diferença entre o pagamento do imposto de renda atual com a do mês anterior?
(c) Qual é a imagem da função imposto de renda quando a base do cálculo for x \in [5000, 8000]?

Passo 1

O enunciado pede três coisas usando a função “imposto de renda” do Exemplo 2.8:
  • (a) Calcular o imposto retido na fonte para um rendimento tributável mensal de R\$\,3500{,}00.
  • (b) Após um aumento para R\$\,4200{,}00, calcular a diferença entre o imposto atual e o do mês anterior.
  • (c) Determinar a imagem da função imposto de renda quando a base do cálculo x varia em [5000,8000].
Para resolver vamos usar a tabela de alíquotas e deduções do Exemplo 2.8 (tabela padrão de IRRF mensal normalmente usada no exercício), que possui os seguintes intervalos, alíquotas e deduções (peguei estes dados do Exemplo 2.8 indicado no enunciado):
  • Para rendimentos até isenção: isento (não se aplica aqui).
  • Para rendimentos em ]2826{,}66,\,3751{,}05]: alíquota 15\% e dedução R\$\,354{,}80.
  • Para rendimentos em ]3751{,}06,\,4664{,}68]: alíquota 22{,}5\% e dedução R\$\,636{,}13.
  • Para rendimentos acima de 4664{,}68: alíquota 27{,}5\% e dedução R\$\,869{,}36.
Observação: cada faixa tem a forma funcional do imposto retido dada por uma função afim (linear) do tipo
\text{IR}(x)=\alpha\,x-\beta,
onde \alpha é a alíquota (por exemplo 0{,}15 para 15\%) e \beta é a dedução correspondente (por exemplo 354{,}80).

Passo 2

Entendendo a fórmula do imposto retido (mini-aula curta e prática).
  • A ideia é: dentro de cada faixa de renda o imposto retido na fonte é calculado como uma fração do rendimento menos uma dedução fixa. Assim, para um rendimento x dentro de uma faixa com alíquota \alpha e dedução \beta temos
\text{IR}(x)=\alpha\,x-\beta.
  • Aqui \alpha é um número entre 0 e 1 (por exemplo 0{,}15 corresponde a 15\%), x é a base de cálculo (o rendimento tributável, em reais) e \beta é a dedução fixa em reais que aparece na tabela.
  • Essa função é afim (uma reta) dentro de cada faixa, ou seja, cresce linearmente com x com declive \alpha. Para valores de x em uma faixa superior usa-se a \alpha e \beta daquela faixa.
Vou aplicar isso às faixas relevantes para os números pedidos.

Passo 3

Item (a): cálculo do imposto para x=R\$\,3500{,}00.
  • Primeiro identificar em qual faixa 3500{,}00 está. Como 2826{,}66 < 3500{,}00 \le 3751{,}05, usamos a faixa com \alpha=0{,}15 e \beta=354{,}80 (peguei esses valores da tabela acima).
  • Aplicando a fórmula \text{IR}(x)=\alpha x-\beta:
\text{IR}(3500{,}00)=0{,}15\cdot3500{,}00-354{,}80.
  • Calcule passo a passo:
0{,}15\cdot3500{,}00=525{,}00,
525{,}00-354{,}80=170{,}20.
  • Portanto o imposto retido na fonte para R\$\,3500{,}00 é R\$\,170{,}20.

Passo 4

Item (b): aumento para x=R\$\,4200{,}00 e diferença entre o imposto atual e o do mês anterior.
  • Primeiro identificar a faixa de 4200{,}00. Como 3751{,}06 \le 4200{,}00 \le 4664{,}68, usamos \alpha=0{,}225 (que é 22{,}5\%) e \beta=636{,}13 (valores da tabela do Exemplo 2.8).
  • Calcular o imposto no novo salário:
\text{IR}(4200{,}00)=0{,}225\cdot4200{,}00-636{,}13.
  • Passo a passo:
0{,}225\cdot4200{,}00=945{,}00,
945{,}00-636{,}13=308{,}87.
  • Então o imposto no mês do aumento é R\$\,308{,}87.
  • A diferença entre o imposto atual e o do mês anterior (novo menos antigo) é
308{,}87-170{,}20=138{,}67.
  • Portanto a diferença é R\$\,138{,}67 (ou seja, esse é o aumento no valor retido de imposto).

Passo 5

Item (c): imagem da função imposto de renda quando x\in[5000,8000].
  • Para x\ge 5000 estamos claramente acima de 4664{,}68, então para toda a faixa [5000,8000] usamos a fórmula da faixa superior: \alpha=0{,}275 e \beta=869{,}36. Logo a função nessa faixa é
\text{IR}(x)=0{,}275\,x-869{,}36,\qquad x\in[5000,8000].
  • Essa é uma função afim com declive positivo 0{,}275, portanto é estritamente crescente: ela transforma o intervalo de x em um intervalo de valores de imposto, e a imagem será o intervalo entre os valores nos extremos x=5000 e x=8000.
  • Calcular as imagens nos extremos:
\text{IR}(5000{,}00)=0{,}275\cdot5000{,}00-869{,}36=1375{,}00-869{,}36=505{,}64,
\text{IR}(8000{,}00)=0{,}275\cdot8000{,}00-869{,}36=2200{,}00-869{,}36=1330{,}64.
  • Como a função é contínua e crescente na faixa, a imagem é o intervalo fechado
[\,505{,}64,\;1330{,}64\,],
em reais. Em notação com o símbolo de real usamos R\$\,505{,}64 e R\$\,1\,330{,}64 se preferir separar milhares.

Resposta

(a) R\$\,170{,}20
(b) R\$\,138{,}67
(c) [R\$\,505{,}64,\;R\$\,1\,330{,}64]

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