Exercício 2.2 Seja
a função definida por
. Considere a nova função
definida por
.
Seja
a função definida por
. A função
é igual à função
?
Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
- Função
dada por . - Função
definida por . - Função
definida por , com domínio (ou seja, ).
Pergunta principal (conforme está escrita): “A função
é igual à função
?”
(Observação: o enunciado também introduziu ; é natural comparar
com
. Vou calcular
e então responder claramente se
é igual a
e, também, comentar sobre
e
.)
(Observação: o enunciado também introduziu
Passo 2
Calcular
explicitamente usando a definição de
. Primeiro escrevo
e
e expando os quadrados passo a passo.
Agora subtrai-se:
Passo 3
Simplificar a expressão obtida em
. Vou organizar os termos e cancelar os que se repetem.
Reagrupando termos iguais:
Portanto, para todo
vale
Em particular,
.
Passo 4
Lembrar a definição necessária para responder se duas funções são iguais. Duas funções
e
são iguais se, e somente se, têm o mesmo domínio e, para todo elemento desse domínio, os valores coincidem. Ou seja, é preciso:
- dom
dom ; - para todo
nesse domínio, .
Vou aplicar isso a cada comparação relevante do enunciado.
Passo 5
Comparação direta entre
e
.
-
está definida para todo . -
está definida apenas para (domínio ), segundo o enunciado. - Mesmo restringindo à interseção dos domínios (por exemplo para
), os valores são diferentes: enquanto . Logo os valores não coincidem nem mesmo quando ambos estão definidos.
Portanto,
NÃO é igual a
.
Passo 6
Comparação entre
e
(já que
foi definida no enunciado e calculamos
).
- Encontramos que
para todo . Assim o domínio de é . - O domínio de
é . - Para todo
temos , ou seja, as duas funções coincidem em . - No entanto, em
temos enquanto não está definido. Como os domínios são diferentes, e não são iguais como funções (mesmo que coincidam em todos os pontos onde está definida).
Se desejar, pode-se dizer que
é uma extensão de
para
: a restrição de
a
é exatamente
.
Resposta
Não.
. Além disso,
para todo
;
e
coincidem em
mas não são iguais como funções porque têm domínios diferentes.