Exercício 2.2 Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(x)=x^{2}. Considere a nova função g definida por g(x)=f(1+x)-f(1-x).
Seja y a função definida por y(x)=4 x, x \neq 0. A função f é igual à função y ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=x^{2}.
  • Função g definida por g(x)=f(1+x)-f(1-x).
  • Função y definida por y(x)=4x, com domínio x\neq 0 (ou seja, y:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}).
Pergunta principal (conforme está escrita): “A função f é igual à função y?”
(Observação: o enunciado também introduziu g; é natural comparar g com y. Vou calcular g e então responder claramente se f é igual a y e, também, comentar sobre g e y.)

Passo 2

Calcular g(x) explicitamente usando a definição de f. Primeiro escrevo f(1+x) e f(1-x) e expando os quadrados passo a passo.
f(1+x)=(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}.
f(1-x)=(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}.
Agora subtrai-se:
g(x)=f(1+x)-f(1-x)=(1+2x+x^{2})-(1-2x+x^{2}).

Passo 3

Simplificar a expressão obtida em g(x). Vou organizar os termos e cancelar os que se repetem.
g(x)=(1+2x+x^{2})-(1-2x+x^{2})=1+2x+x^{2}-1+2x-x^{2}.
Reagrupando termos iguais:
g(x)=(1-1)+(x^{2}-x^{2})+(2x+2x)=0+0+4x=4x.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R} vale
g(x)=4x.
Em particular, g(0)=4\cdot 0=0.

Passo 4

Lembrar a definição necessária para responder se duas funções são iguais. Duas funções h_1 e h_2 são iguais se, e somente se, têm o mesmo domínio e, para todo elemento desse domínio, os valores coincidem. Ou seja, é preciso:
  1. dom (h_1)= dom (h_2);
  2. para todo x nesse domínio, h_1(x)=h_2(x).
Vou aplicar isso a cada comparação relevante do enunciado.

Passo 5

Comparação direta entre f e y.
  • f(x)=x^{2} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • y(x)=4x está definida apenas para x\neq 0 (domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}), segundo o enunciado.
  • Mesmo restringindo à interseção dos domínios (por exemplo para x=1), os valores são diferentes: f(1)=1 enquanto y(1)=4. Logo os valores não coincidem nem mesmo quando ambos estão definidos.
Portanto, f NÃO é igual a y.

Passo 6

Comparação entre g e y (já que g foi definida no enunciado e calculamos g(x)=4x).
  • Encontramos que g(x)=4x para todo x\in\mathbb{R}. Assim o domínio de g é \mathbb{R}.
  • O domínio de y é \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Para todo x\neq 0 temos g(x)=4x=y(x), ou seja, as duas funções coincidem em \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • No entanto, em x=0 temos g(0)=0 enquanto y(0) não está definido. Como os domínios são diferentes, g e y não são iguais como funções (mesmo que coincidam em todos os pontos onde y está definida).
Se desejar, pode-se dizer que g é uma extensão de y para 0: a restrição de g a \mathbb{R}\setminus\{0\} é exatamente y.

Resposta

Não. f\neq y. Além disso, g(x)=4x para todo x\in\mathbb{R}; g e y coincidem em \mathbb{R}\setminus\{0\} mas não são iguais como funções porque têm domínios diferentes.

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