Exercício 2.2 Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(x)=x^{2}. Considere a nova função g definida por g(x)=f(1+x)-f(1-x).
Simplifique a expressão \frac{g(x+h)-g(x)}{h}, onde h é um número real distinto de zero.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{2} e define uma nova função g por
g(x)=f(1+x)-f(1-x).
Pede-se para simplificar a expressão
\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
onde h é um número real distinto de zero (ou seja, h\neq0). Vou listar o que temos e o que precisamos encontrar:
  • Dados: f(x)=x^{2}, g(x)=f(1+x)-f(1-x), h\neq0.
  • Pedido: calcular/ simplificar \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} em forma mais simples.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar g(x). Substituímos f(t)=t^{2} com t=1+x e t=1-x:
g(x)=(1+x)^{2}-(1-x)^{2}.
Agora expandimos os quadrados passo a passo:
(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}, \qquad (1-x)^{2}=1-2x+x^{2}.

Passo 3

Calculamos a diferença usando as expansões:
g(x)=(1+2x+x^{2})-(1-2x+x^{2}).
Agora simplificamos termo a termo: 1-1=0 e x^{2}-x^{2}=0, sobrando
g(x)=2x-(-2x)=4x.
Então chegamos a uma forma simples:
g(x)=4x.

Passo 4

(Comentário didático curto) Outra forma rápida de obter g(x) é usar a identidade de diferença de quadrados (a^{2}-b^{2})=(a-b)(a+b). Com a=1+x e b=1-x:
(1+x)^{2}-(1-x)^{2} = \big((1+x)-(1-x)\big)\big((1+x)+(1-x)\big) = (2x)(2)=4x,
o que confirma o resultado anterior.

Passo 5

Agora precisamos de g(x+h). Substituindo x por x+h na expressão g(t)=4t (aqui t é a variável):
g(x+h)=4(x+h)=4x+4h.

Passo 6

Formamos o quociente pedido e simplificamos passo a passo:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{(4x+4h)-4x}{h}.
No numerador 4x cancela com -4x, sobrando 4h:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{4h}{h}.
Como h\neq0, podemos cancelar h no numerador e denominador:
\frac{4h}{h}=4.

Passo 7

(Comentário didático final e incentivo) Pronto! A expressão simplificada é uma constante, 4. Isso significa que o quociente de diferença de g entre x+h e x dividido por h não depende de x nem de h (desde que h\neq0). Na linguagem de cálculo, o limite desse quociente quando h\to0 também seria 4, ou seja, a derivada de g é 4. Você foi bem — passos algébricos simples como expandir, cancelar termos e fatorar são ferramentas poderosas nessas questões.

Resposta

4

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