Exercício 2.2 Seja
a função definida por
. Considere a nova função
definida por
.
Simplifique a expressão
, onde
é um número real distinto de zero.
Simplifique a expressão
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
e define uma nova função
por
Pede-se para simplificar a expressão
onde
é um número real distinto de zero (ou seja,
). Vou listar o que temos e o que precisamos encontrar:
- Dados:
, , . - Pedido: calcular/ simplificar
em forma mais simples.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar
. Substituímos
com
e
:
Agora expandimos os quadrados passo a passo:
Passo 3
Calculamos a diferença usando as expansões:
Agora simplificamos termo a termo:
e
, sobrando
Então chegamos a uma forma simples:
Passo 4
(Comentário didático curto) Outra forma rápida de obter
é usar a identidade de diferença de quadrados
. Com
e
:
o que confirma o resultado anterior.
Passo 5
Agora precisamos de
. Substituindo
por
na expressão
(aqui
é a variável):
Passo 6
Formamos o quociente pedido e simplificamos passo a passo:
No numerador
cancela com
, sobrando
:
Como
, podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 7
(Comentário didático final e incentivo) Pronto! A expressão simplificada é uma constante,
. Isso significa que o quociente de diferença de
entre
e
dividido por
não depende de
nem de
(desde que
). Na linguagem de cálculo, o limite desse quociente quando
também seria
, ou seja, a derivada de
é
. Você foi bem — passos algébricos simples como expandir, cancelar termos e fatorar são ferramentas poderosas nessas questões.
Resposta
4