Exercício 3: Use a integração por partes para calcular:
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Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a questão. A gente precisa calcular a integral de $ x \cdot \cos(x) , dx $ usando uma técnica chamada integração por partes. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente em integrais onde a gente tem produtos de funções. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é integração por partes e como aplicar a fórmula corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
Aqui, a gente escolhe quais partes da integral vão ser $ u $ e $ dv $.
Passo 3
No nosso caso, temos $ \int x \cdot \cos(x) , dx $. Vamos escolher:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $. Para isso, derivamos $ u $ e integramos $ dv $:
Passo 5
Com esses valores, substituímos na fórmula da integração por partes:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral que sobrou:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
A integral de $ x \cdot \cos(x) , dx $ é: