Exercício 3: Use a integração por partes para calcular:
integral x cdot cos (x) d x, com u(x)=x e dd x v(x)=cos (x).

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a questão. A gente precisa calcular a integral de $ x \cdot \cos(x) , dx $ usando uma técnica chamada integração por partes. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente em integrais onde a gente tem produtos de funções. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é integração por partes e como aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe quais partes da integral vão ser $ u $ e $ dv $.

Passo 3

No nosso caso, temos $ \int x \cdot \cos(x) , dx $. Vamos escolher:
integral x cdot cos(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $. Para isso, derivamos $ u $ e integramos $ dv $:
du
v

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula da integração por partes:
integral x cdot cos(x) , dx = u cdot v - integral v , du
= x cdot sin(x) - integral sin(x) cdot 1 , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral que sobrou:
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
x cdot sin(x) - (-cos(x)) + C
= x cdot sin(x) + cos(x) + C

Resposta

A integral de $ x \cdot \cos(x) , dx $ é:
x cdot cos(x) , dx

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