Mostre que se
é diferenciável em to, então
é contínua em to.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a função
é diferenciável em um ponto
, então ela também é contínua nesse mesmo ponto. Então, a matéria que vamos usar aqui envolve diferenciabilidade e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e o que isso implica para a sua continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se o limite
existe. Esse limite é a derivada de
em
, denotada por
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na continuidade da função
em
. A função é contínua em
se
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 4
Vamos conectar esses dois conceitos. Se
é diferenciável em
, isso significa que o limite da diferença entre
e
, dividida por
, existe. Podemos reorganizar essa expressão para ajudar na prova:
Isso simplifica para:
Passo 5
O que isso nos mostra é que:
o que significa que
Isso é exatamente a definição de continuidade em
!
Resposta
Portanto, se
é diferenciável em
, então
é contínua em
.