Mostre que se alpha é diferenciável em to, então alpha é contínua em to.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a função alpha é diferenciável em um ponto t0, então ela também é contínua nesse mesmo ponto. Então, a matéria que vamos usar aqui envolve diferenciabilidade e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e o que isso implica para a sua continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é ser diferenciável em um ponto. Uma função alpha é diferenciável em t0 se o limite
limh to 0 alpha(t0 + h) - alpha(t0)h
existe. Esse limite é a derivada de alpha em t0, denotada por alpha'(t0).

Passo 3

Agora, vamos pensar na continuidade da função alpha em t0. A função é contínua em t0 se
limt to t0 alpha(t) = alpha(t0)
Ou seja, o limite da função quando t se aproxima de t0 é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 4

Vamos conectar esses dois conceitos. Se alpha é diferenciável em t0, isso significa que o limite da diferença entre alpha(t0 + h) e alpha(t0), dividida por h, existe. Podemos reorganizar essa expressão para ajudar na prova:
limh to 0 [alpha(t0 + h) - alpha(t0)] = limh to 0 alpha(t0 + h) - alpha(t0)h cdot h
Isso simplifica para:
0 = alpha'(t0) cdot 0 = 0

Passo 5

O que isso nos mostra é que:
limh to 0 alpha(t0 + h) - alpha(t0) = 0,
o que significa que
limh to 0 alpha(t0 + h) = alpha(t0)
Isso é exatamente a definição de continuidade em t0!

Resposta

Portanto, se alpha é diferenciável em t0, então alpha é contínua em t0.

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