Exercício 7. Use integrais para mostrar que o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 1 e altura igual a 2 é \frac{2}{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu use integrais para mostrar que o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede \;1\; e altura igual a \;2\;, é \;\tfrac{2}{3}\;.\n
Informações dadas:
  • a base é um quadrado de lado \;1\;;
  • a altura da pirâmide é \;2\;;
  • devemos aplicar integração para obter o volume (ou seja, usar uma soma de fatias/áreas transversais).

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): vamos cortar a pirâmide em fatias horizontais paralelas à base, cada fatia a uma altura \;z\; do plano da base terá forma de quadrado (uma seção semelhante ao da base). O volume total é a soma (integral) das áreas dessas seções ao longo de \;z\; de \;0 até \;2.
Explicação didática da técnica:
  • Se cortamos um sólido por planos paralelos à base, cada fatia fina tem volume aproximadamente A(z)\,\mathrm{d}z, onde A(z) é a área da seção transversal nessa altura e \mathrm{d}z é a espessura da fatia.
  • Somando todas as fatias e passando ao limite, obtemos o volume
V=\int_{z_{\min}}^{z_{\max}} A(z)\,\mathrm{d}z.
Aqui z será a coordenada vertical medida da base ( z=0) até o vértice ( z=2).

Passo 3

Determinar a geometria da seção transversal: por semelhança de figuras, a seção a uma altura \;z\; é um quadrado com lado proporcional ao lado da base. Vou explicar isso com calma.
  • No plano da base ( z=0) o lado do quadrado é \;1\;.
  • No vértice ( z=2) o lado é \;0\;.
  • A variação do lado com \;z\; é linear porque estamos cortando uma pirâmide reta: as arestas que ligam os vértices da base ao ápice descrevem segmentos retos, então a redução do comprimento segue proporção linear.
Seja \;s(z)\; o lado do quadrado na altura \;z\;. Pela semelhança de triângulos/figuras:
\frac{s(z)}{1}=\frac{2-z}{2}.
Explicando essa igualdade: quando \;z=0\; temos \;s(0)=1 (ok), e quando \;z=2\; temos \;s(2)=0. A razão \tfrac{2-z}{2} é a fração do “tamanho linear restante” em relação à altura total. Portanto:
s(z)=\frac{2-z}{2}=1-\frac{z}{2}.

Passo 4

Expressar a área da seção transversal \;A(z)\; em função de \;z\;.
A seção é um quadrado de lado \;s(z), então
A(z) = \bigl(s(z)\bigr)^2=\left(1-\frac{z}{2}\right)^2.
Vou expandir para facilitar a integração:
\left(1-\frac{z}{2}\right)^2 = 1 - z + \frac{z^2}{4}.

Passo 5

Montar a integral do volume usando a fórmula de fatias:
V=\int_{0}^{2} A(z)\,\mathrm{d}z=\int_{0}^{2} \left(1-\frac{z}{2}\right)^2 \mathrm{d}z.
Substituindo a expansão:
V=\int_{0}^{2} \left(1 - z + \frac{z^2}{4}\right)\mathrm{d}z.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
Integrando termo a termo e mostrando as primitivias:
  • \displaystyle \int 1\,\mathrm{d}z = z.
  • \displaystyle \int -z\,\mathrm{d}z = -\frac{z^2}{2}.
  • \displaystyle \int \frac{z^2}{4}\,\mathrm{d}z = \frac{1}{4}\cdot\frac{z^3}{3}=\frac{z^3}{12}.
Assim a primitiva da integranda é
F(z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{12}.
Agora avalio de \;0 a \;2:
V=F(2)-F(0).
Calcule cada termo em z=2:
  • z\big|_{2}=2.
  • -\dfrac{z^2}{2}\big|_{2}=-\dfrac{4}{2}=-2.
  • \dfrac{z^3}{12}\big|_{2}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.
Somando:
V=2-2+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 7

Interpretação final e conexão com a fórmula clássica: obtivemos \;V=\tfrac{2}{3}\;. Isso coincide com a fórmula conhecida do volume de uma pirâmide reta:
V=\frac{1}{3}\cdot(\text{área da base})\cdot(\text{altura}).á
Aqui \text{área da base}=1á e \text{altura}=2, então \;V=\tfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2=\tfrac{2}{3}\;, exatamente o que a integração mostrou. A integração confirma a razão pela qual aparece o fator \tfrac{1}{3}: quando as áreas das seções transversais diminuem quadraticamente com a altura, a integral dá esse fator.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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