Exercício 7. Use integrais para mostrar que o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 1 e altura igual a 2 é \frac{2}{3}.
Passo 1
O enunciado pede que eu use integrais para mostrar que o volume de uma pirâmide de base quadrada, cujo lado mede \;1\; e altura igual a \;2\;, é \;\tfrac{2}{3}\;.\n
Informações dadas:
a base é um quadrado de lado \;1\;;
a altura da pirâmide é \;2\;;
devemos aplicar integração para obter o volume (ou seja, usar uma soma de fatias/áreas transversais).
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): vamos cortar a pirâmide em fatias horizontais paralelas à base, cada fatia a uma altura \;z\; do plano da base terá forma de quadrado (uma seção semelhante ao da base). O volume total é a soma (integral) das áreas dessas seções ao longo de \;z\; de \;0 até \;2.
Explicação didática da técnica:
Se cortamos um sólido por planos paralelos à base, cada fatia fina tem volume aproximadamente A(z)\,\mathrm{d}z, onde A(z) é a área da seção transversal nessa altura e \mathrm{d}z é a espessura da fatia.
Somando todas as fatias e passando ao limite, obtemos o volume
V=\int_{z_{\min}}^{z_{\max}} A(z)\,\mathrm{d}z.
Aqui z será a coordenada vertical medida da base (z=0) até o vértice (z=2).
Passo 3
Determinar a geometria da seção transversal: por semelhança de figuras, a seção a uma altura \;z\; é um quadrado com lado proporcional ao lado da base. Vou explicar isso com calma.
No plano da base (z=0) o lado do quadrado é \;1\;.
No vértice (z=2) o lado é \;0\;.
A variação do lado com \;z\; é linear porque estamos cortando uma pirâmide reta: as arestas que ligam os vértices da base ao ápice descrevem segmentos retos, então a redução do comprimento segue proporção linear.
Seja \;s(z)\; o lado do quadrado na altura \;z\;. Pela semelhança de triângulos/figuras:
\frac{s(z)}{1}=\frac{2-z}{2}.
Explicando essa igualdade: quando \;z=0\; temos \;s(0)=1 (ok), e quando \;z=2\; temos \;s(2)=0. A razão \tfrac{2-z}{2} é a fração do “tamanho linear restante” em relação à altura total. Portanto:
s(z)=\frac{2-z}{2}=1-\frac{z}{2}.
Passo 4
Expressar a área da seção transversal \;A(z)\; em função de \;z\;.
Interpretação final e conexão com a fórmula clássica: obtivemos \;V=\tfrac{2}{3}\;. Isso coincide com a fórmula conhecida do volume de uma pirâmide reta:
V=\frac{1}{3}\cdot(\text{área da base})\cdot(\text{altura}).á
Aqui \text{área da base}=1á e \text{altura}=2, então \;V=\tfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2=\tfrac{2}{3}\;, exatamente o que a integração mostrou. A integração confirma a razão pela qual aparece o fator \tfrac{1}{3}: quando as áreas das seções transversais diminuem quadraticamente com a altura, a integral dá esse fator.