Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
, calcule
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais
,
e
.
Informações relevantes: a função é soma de três termos monomiais em . Precisamos derivar cada termo em relação à variável indicada, tratando as demais como constantes.
Informações relevantes: a função é soma de três termos monomiais em
Passo 2
O que é uma derivada parcial e como calculamos na prática.
- A derivada parcial de
em relação a (escrita ou ) mede como varia quando apenas muda e são mantidos fixos. O mesmo vale para e . - Regra básica que usaremos: a derivada de
em relação a é . Se tiver um produto em que os outros fatores são constantes (por exemplo com constante), a derivada é simplesmente esse coeficiente . - Procedimento prático: para cada termo da soma, aplicar a derivação em relação à variável escolhida e somar os resultados; termos que não dependem da variável sendo derivada viram zero.
Exemplo rápido para fixar: se
, então
(porque tratamos
como constante) e
(porque tratamos
como constante).
Passo 3
Cálculo de
. Derivamos cada termo de
em relação a
, tratando
e
como constantes.
- Para o termo
: aqui é constante, então a derivada em relação a é . - Para o termo
: aqui é constante, e usamos a regra da potência para : a derivada é . - Para o termo
: é constante, então a derivada é .
Somando os três resultados:
Passo 4
Cálculo de
. Derivamos cada termo em relação a
, tratando
e
como constantes.
- Para
: é constante, derivada de é , então obtemos . - Para
: não contém , então a derivada é . - Para
: também não contém , então a derivada é .
Somando:
Passo 5
Cálculo de
. Derivamos cada termo em relação a
, tratando
e
como constantes.
- Para
: não depende de , derivada . - Para
: é constante, derivada em relação a é . - Para
: é constante, derivada de é , então obtemos .
Somando: