Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y, z)=3 x y^{2}-5 x^{2} z+z^{3} x, calcule f_{x}, f_{y} e f_{z}.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y,z)=3xy^{2}-5x^{2}z+z^{3}x\, e pede para calcular as derivadas parciais \,f_{x}, \,f_{y} e \,f_{z}.
Informações relevantes: a função é soma de três termos monomiais em x,y,z. Precisamos derivar cada termo em relação à variável indicada, tratando as demais como constantes.

Passo 2

O que é uma derivada parcial e como calculamos na prática.
  • A derivada parcial de \,f em relação a \,x (escrita \,\dfrac{\partial f}{\partial x} ou \,f_x) mede como \,f varia quando apenas \,x muda e \,y,z são mantidos fixos. O mesmo vale para \,f_y e \,f_z.
  • Regra básica que usaremos: a derivada de \,x^n em relação a \,x é \,n x^{n-1}. Se tiver um produto em que os outros fatores são constantes (por exemplo a\cdot x com a constante), a derivada é simplesmente esse coeficiente a.
  • Procedimento prático: para cada termo da soma, aplicar a derivação em relação à variável escolhida e somar os resultados; termos que não dependem da variável sendo derivada viram zero.
Exemplo rápido para fixar: se g(x,y)=x^2y, então \,g_x=2xy (porque tratamos y como constante) e \,g_y=x^2 (porque tratamos x como constante).

Passo 3

Cálculo de \,f_{x}. Derivamos cada termo de \,f(x,y,z)=3xy^{2}-5x^{2}z+z^{3}x em relação a \,x, tratando \,y e \,z como constantes.
  • Para o termo \,3xy^{2}: aqui y^{2} é constante, então a derivada em relação a x é \,3y^{2}.
  • Para o termo \,-5x^{2}z: aqui z é constante, e usamos a regra da potência para x^{2}: a derivada é -5\cdot 2x\cdot z = -10xz.
  • Para o termo \,z^{3}x: z^{3} é constante, então a derivada é \,z^{3}.
Somando os três resultados:
f_{x}=3y^{2}-10xz+z^{3}.

Passo 4

Cálculo de \,f_{y}. Derivamos cada termo em relação a \,y, tratando \,x e \,z como constantes.
  • Para \,3xy^{2}: x é constante, derivada de y^{2} é 2y, então obtemos 3x\cdot 2y = 6xy.
  • Para \,-5x^{2}z: não contém y, então a derivada é 0.
  • Para \,z^{3}x: também não contém y, então a derivada é 0.
Somando:
f_{y}=6xy.

Passo 5

Cálculo de \,f_{z}. Derivamos cada termo em relação a \,z, tratando \,x e \,y como constantes.
  • Para \,3xy^{2}: não depende de z, derivada 0.
  • Para \,-5x^{2}z: x^{2} é constante, derivada em relação a z é -5x^{2}.
  • Para \,z^{3}x: x é constante, derivada de z^{3} é 3z^{2}, então obtemos x\cdot 3z^{2}=3xz^{2}.
Somando:
f_{z}=-5x^{2}+3xz^{2}.

Resposta

f_{x}=3y^{2}-10xz+z^{3}
f_{y}=6xy
f_{z}=-5x^{2}+3xz^{2}

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