Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Observação importante (sobre domínio): a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo, ou seja
(As derivadas parciais que vamos obter só fazem sentido nos pontos onde a função está definida e, mais especificamente, onde o radicando é positivo para evitar divisão por zero na simplificação.)
Passo 2
O que significa calcular uma derivada parcial?
A derivada parcial em relação a ,
, é a taxa de variação de
quando variamos
e mantemos
fixo. Formalmente,
A derivada parcial em relação a
mas na prática usamos regras de diferenciação (regra da cadeia e regra do poder) tratando a outra variável como constante. Vou usar esse procedimento porque é mais rápido e direto na prova.
Passo 3
Reescrever a função como uma composição facilita aplicar a regra da cadeia. Definimos
e
Então
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
e
Passo 4
Calculemos
,
e
.
Para
usamos a regra do poder:
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
.
Usando
, temos
Substituindo
,
Simplificando o fator
, obtemos
Passo 6
Agora calculamos
de maneira análoga.
Usando
, temos
Substituindo
,
Simplificando
, obtemos
Passo 7
Observações finais e exemplos rápidos para fixar:
- As expressões acima só valem quando
(pois no caso de igualdade o denominador fica zero e a derivada não é finita). - Exemplo: no ponto
temos e porque os numeradores são zero. - Exemplo: no ponto
(onde ):