Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=\sqrt{36-9 x^{2}-4 y^{2}}, calcule f_{x} e f_{y}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}} e pede para calcular as derivadas parciais \displaystyle f_{x} e \displaystyle f_{y}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função: } f(x,y)=\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}.çã
\text{Pedir: } f_{x}(x,y)\quad\text{e}\quad f_{y}(x,y).
Observação importante (sobre domínio): a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo, ou seja
36-9x^{2}-4y^{2}\ge 0.
(As derivadas parciais que vamos obter só fazem sentido nos pontos onde a função está definida e, mais especificamente, onde o radicando é positivo para evitar divisão por zero na simplificação.)

Passo 2

O que significa calcular uma derivada parcial?
A derivada parcial em relação a x, \displaystyle f_{x}, é a taxa de variação de f quando variamos x e mantemos y fixo. Formalmente,
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
mas na prática usamos regras de diferenciação (regra da cadeia e regra do poder) tratando a outra variável como constante. Vou usar esse procedimento porque é mais rápido e direto na prova.

Passo 3

Reescrever a função como uma composição facilita aplicar a regra da cadeia. Definimos
u(x,y)=36-9x^{2}-4y^{2}
e
g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
Então
f(x,y)=g\big(u(x,y)\big).
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
f_{x}(x,y)=g'\big(u(x,y)\big)\cdot u_{x}(x,y)
e
f_{y}(x,y)=g'\big(u(x,y)\big)\cdot u_{y}(x,y).

Passo 4

Calculemos g'(u), u_{x} e u_{y}.
Para g(u)=u^{1/2} usamos a regra do poder:
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Derivando u(x,y)=36-9x^{2}-4y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
u_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(36)-\frac{\partial}{\partial x}(9x^{2})-\frac{\partial}{\partial x}(4y^{2})=0-18x-0=-18x.
Derivando u em relação a y (tratando x como constante):
u_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(36)-\frac{\partial}{\partial y}(9x^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(4y^{2})=0-0-8y=-8y.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter \displaystyle f_{x}.
Usando \displaystyle f_{x}=g'(u)\,u_{x}, temos
f_{x}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\cdot(-18x).
Substituindo u(x,y)=36-9x^{2}-4y^{2},
f_{x}(x,y)=\frac{-18x}{2\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}}.
Simplificando o fator \displaystyle \frac{-18x}{2}=-9x, obtemos
\boxed{\,f_{x}(x,y)=-\dfrac{9x}{\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}}\,}.

Passo 6

Agora calculamos \displaystyle f_{y} de maneira análoga.
Usando \displaystyle f_{y}=g'(u)\,u_{y}, temos
f_{y}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\cdot(-8y).
Substituindo u(x,y),
f_{y}(x,y)=\frac{-8y}{2\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}}.
Simplificando \displaystyle \frac{-8y}{2}=-4y, obtemos
\boxed{\,f_{y}(x,y)=-\dfrac{4y}{\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}}\,}.

Passo 7

Observações finais e exemplos rápidos para fixar:
  • As expressões acima só valem quando \displaystyle 36-9x^{2}-4y^{2}>0 (pois no caso de igualdade o denominador fica zero e a derivada não é finita).
  • Exemplo: no ponto (0,0) temos \displaystyle f_{x}(0,0)=0 e \displaystyle f_{y}(0,0)=0 porque os numeradores são zero.
  • Exemplo: no ponto (1,2) (onde \displaystyle 36-9\cdot1^{2}-4\cdot2^{2}=11>0):
f_{x}(1,2)=-\dfrac{9\cdot1}{\sqrt{11}}=-\dfrac{9}{\sqrt{11}},\qquad f_{y}(1,2)=-\dfrac{4\cdot2}{\sqrt{11}}=-\dfrac{8}{\sqrt{11}}.

Resposta

f_{x}(x,y)=-\dfrac{9x}{\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}}
f_{y}(x,y)=-\dfrac{4y}{\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}}

Exercícios relacionados