Exercício 2. Use o teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. As informações relevantes são:
- O termo geral é
. - Note que
para todo . - A tarefa é aplicar o teste da Comparação ou o teste da Comparação no Limite para decidir convergência/divergência.
Passo 2
Intuição rápida (sem resolver ainda): para
grande,
se comporta como
, então
deve ficar parecida com uma constante vezes
. Como a série harmônica
diverge, é razoável suspeitar que a série dada também diverge. Agora vamos formalizar isso usando o teste da Comparação no Limite.
Passo 3
Enunciado do teste da Comparação no Limite (explicado de forma simples):
Sejam e
para todo
. Se existe o limite
Sejam
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. A ideia é que, quando o quociente tende a uma constante positiva, os termos têm a mesma ordem de grandeza para
grande.
Passo 4
Escolha de
. Pela intuição anterior, escolhemos
a série
é a série harmônica conhecida por divergir. Agora calculamos o limite
.
Passo 5
Cálculo do limite passo a passo:
Agora simplificamos dividindo por
dentro da raiz:
Tomando o limite quando
:
Esse valor é um número positivo e finito, ou seja
.
Passo 6
Conclusão pelo teste da Comparação no Limite: como
e a série
diverge, segue que a série
também diverge.
Passo 7
Observação alternativa (útil na prova): podemos também usar Comparação direta. Para
temos
, logo
. Assim
Como
é uma constante multiplicando a harmônica (logo diverge) e os termos da série dada são maiores ou iguais aos termos dessa série divergente, a série dada diverge por comparação direta. Esta é outra maneira curta e válida de chegar à mesma conclusão.
Resposta
A série diverge.