Exercício 2. Use o teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou divergência das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 \sqrt{5 n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3\sqrt{5n^{2}+1}}
converge ou diverge. As informações relevantes são:
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{1}{3\sqrt{5n^{2}+1}}.
  • Note que \displaystyle a_{n}>0 para todo n.
  • A tarefa é aplicar o teste da Comparação ou o teste da Comparação no Limite para decidir convergência/divergência.

Passo 2

Intuição rápida (sem resolver ainda): para n grande, \sqrt{5n^{2}+1} se comporta como \sqrt{5}\,n, então \displaystyle a_{n} deve ficar parecida com uma constante vezes \dfrac{1}{n}. Como a série harmônica \sum 1/n diverge, é razoável suspeitar que a série dada também diverge. Agora vamos formalizar isso usando o teste da Comparação no Limite.

Passo 3

Enunciado do teste da Comparação no Limite (explicado de forma simples):
Sejam \displaystyle a_{n}\ge0 e \displaystyle b_{n}>0 para todo n. Se existe o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=c
com 0<c<\infty, então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. A ideia é que, quando o quociente tende a uma constante positiva, os termos têm a mesma ordem de grandeza para n grande.

Passo 4

Escolha de b_{n}. Pela intuição anterior, escolhemos
b_{n}=\frac{1}{n},
a série \sum b_{n}=\sum \dfrac{1}{n} é a série harmônica conhecida por divergir. Agora calculamos o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

Passo 5

Cálculo do limite passo a passo:
\frac{a_{n}}{b_{n}} =\frac{\dfrac{1}{3\sqrt{5n^{2}+1}}}{\dfrac{1}{n}} =\frac{n}{3\sqrt{5n^{2}+1}}.
Agora simplificamos dividindo por n dentro da raiz:
\frac{n}{3\sqrt{5n^{2}+1}} =\frac{1}{3\sqrt{5+\dfrac{1}{n^{2}}}}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3\sqrt{5+\dfrac{1}{n^{2}}}} =\frac{1}{3\sqrt{5}}.
Esse valor é um número positivo e finito, ou seja 0<\dfrac{1}{3\sqrt{5}}<\infty.

Passo 6

Conclusão pelo teste da Comparação no Limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}\in(0,\infty)
e a série \sum b_{n}=\sum \dfrac{1}{n} diverge, segue que a série \sum a_{n} também diverge.

Passo 7

Observação alternativa (útil na prova): podemos também usar Comparação direta. Para n\ge1 temos 5n^{2}+1\le 6n^{2}, logo \sqrt{5n^{2}+1}\le\sqrt{6}\,n. Assim
\frac{1}{3\sqrt{5n^{2}+1}}\ge\frac{1}{3\sqrt{6}\,n}.
Como \sum \dfrac{1}{3\sqrt{6}\,n} é uma constante multiplicando a harmônica (logo diverge) e os termos da série dada são maiores ou iguais aos termos dessa série divergente, a série dada diverge por comparação direta. Esta é outra maneira curta e válida de chegar à mesma conclusão.

Resposta

A série diverge.

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