Determine o volume do hiperboloide gerado pela revolução da hipérbole \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 entre y=-1 e y=1 em torno do eixo Oy.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume do corpo gerado pela revolução da hipérbole \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 para y variando entre -1 e 1 ao redor do eixo Oy.
Informações dadas:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1,
intervalo em y: -1\le y\le 1,
eixo de revolução: Oy (o eixo vertical).
Passo 2
Ideia e fórmula a usar (explicação didática): quando giramos uma curva x=f(y) em torno do eixo Oy, para cada valor de y obtemos uma seção transversal perpendicular ao eixo Oy que é um círculo de raio R(y)=|f(y)|. A área dessa seção é
\text{Área}(y)=\pi [R(y)]^{2}=\pi [f(y)]^{2}.
O volume do sólido entre y=y_{1} e y=y_{2} é a integral das áreas das seções:
V=\int_{y_{1}}^{y_{2}} \pi [f(y)]^{2}\,dy.
Aqui f(y) é a abscissa x da hipérbole (o raio do círculo em cada y), e y é a variável de integração. Essa é a conhecida técnica dos discos (ou fatias).
Passo 3
Encontrar x em função de y a partir da equação da hipérbole. Partimos de