Determine o volume do hiperboloide gerado pela revolução da hipérbole \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 entre y=-1 e y=1 em torno do eixo Oy.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume do corpo gerado pela revolução da hipérbole \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 para y variando entre -1 e 1 ao redor do eixo Oy.
Informações dadas:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1,
intervalo em y: -1\le y\le 1,
eixo de revolução: Oy (o eixo vertical).

Passo 2

Ideia e fórmula a usar (explicação didática): quando giramos uma curva x=f(y) em torno do eixo Oy, para cada valor de y obtemos uma seção transversal perpendicular ao eixo Oy que é um círculo de raio R(y)=|f(y)|. A área dessa seção é
\text{Área}(y)=\pi [R(y)]^{2}=\pi [f(y)]^{2}.Á
O volume do sólido entre y=y_{1} e y=y_{2} é a integral das áreas das seções:
V=\int_{y_{1}}^{y_{2}} \pi [f(y)]^{2}\,dy.
Aqui f(y) é a abscissa x da hipérbole (o raio do círculo em cada y), e y é a variável de integração. Essa é a conhecida técnica dos discos (ou fatias).

Passo 3

Encontrar x em função de y a partir da equação da hipérbole. Partimos de
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1.
Isolando x^{2}:
x^{2}=16\!\left(1+\frac{y^{2}}{9}\right)=16+\frac{16}{9}y^{2}.
Ao girar em torno de Oy usamos o raio positivo R(y)=x(y)\ge0, mas para o cálculo do volume precisamos apenas de x^{2}, que acabamos de obter:
x^{2}=16+\frac{16}{9}y^{2}.

Passo 4

Montar a integral do volume usando a fórmula dos discos:
V=\int_{-1}^{1} \pi\,x^{2}\,dy =\pi\int_{-1}^{1}\left(16+\frac{16}{9}y^{2}\right)dy.
Observação prática (simetria): a função 16+\frac{16}{9}y^{2} é par (mesma para y e -y), então podemos usar
V=2\pi\int_{0}^{1}\left(16+\frac{16}{9}y^{2}\right)dy,
o que às vezes simplifica a avaliação, mas vou avaliar diretamente em [-1,1].

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Integral termo a termo:
\int_{-1}^{1}16\,dy = 16y\Big|_{-1}^{1}=16(1)-16(-1)=32.
\int_{-1}^{1}\frac{16}{9}y^{2}\,dy=\frac{16}{9}\cdot\frac{y^{3}}{3}\Big|_{-1}^{1}=\frac{16}{27}\big(1^{3}-(-1)^{3}\big)=\frac{16}{27}\cdot 2=\frac{32}{27}.
Somando as duas partes dentro da integral:
\int_{-1}^{1}\left(16+\frac{16}{9}y^{2}\right)dy=32+\frac{32}{27}=\frac{896}{27}.
Multiplicando por \pi obtemos o volume:
V=\pi\cdot\frac{896}{27}=\frac{896\pi}{27}.

Resposta

\displaystyle \frac{896\pi}{27}

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