Exercício 2. Use o teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
(pois , e ). - A única pergunta é: a série diverge ou converge?
Passo 2
Decidindo o método: como os termos têm um fator exponencial
no denominador, é natural comparar com uma série geométrica do tipo
, que sabemos como se comporta. Vou usar o Teste da Comparação no Limite (Limit Comparison Test) porque é direto para verificar comportamento assintótico quando há um fator exponencial dominante. Também é importante que os termos sejam positivos, condição necessária para aplicar esse teste.
Passo 3
Enunciado do Teste da Comparação no Limite (explicado de forma simples):
Sejam e
sequências de termos positivos. Se
Sejam
existe e
, então as séries
e
convergem ou divergem juntas (isto é, ou as duas convergem ou as duas divergem). Aqui
é um número finito e positivo que diz que
e
têm o mesmo comportamento assintótico.
Passo 4
Escolhemos comparar com
Agora calculamos o limite da razão
. Primeiro escrevo
explicitamente:
Então
Observe que ao dividir por
multiplicamos por
e esses fatores
se cancelam. Agora calculamos o limite:
Portanto o limite
é
, que é um número finito e positivo.
Passo 5
Conclusão pelo Teste da Comparação no Limite: como
as séries
e
convergem ou divergem juntas. Sabemos que a série geométrica
converge, porque é uma série geométrica com razão
e
. (Lembrete rápido: a soma da geométrica a partir de
é
, aqui
, mas só precisamos saber que ela converge.) Logo, pela comparação no limite, a série original também converge.
Passo 6
Comentário adicional (opcional, para você ter outra ferramenta rápida na prova): note que para
temos
. Portanto
Como
converge, pela comparação direta com a constante
multiplicando a geométrica concluímos novamente que a série original converge. Isso é útil quando você prefere aplicar comparação direta sem limites.
Resposta
A série
converge.