Exercício 2. Use o teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou divergência das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+5}{n 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+5}{n\,2^{n}}
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n+5}{n\,2^{n}}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge 1 (pois n+5>0, n>0 e 2^{n}>0).
  • A única pergunta é: a série diverge ou converge?

Passo 2

Decidindo o método: como os termos têm um fator exponencial 2^{n} no denominador, é natural comparar com uma série geométrica do tipo \sum 1/2^{n}, que sabemos como se comporta. Vou usar o Teste da Comparação no Limite (Limit Comparison Test) porque é direto para verificar comportamento assintótico quando há um fator exponencial dominante. Também é importante que os termos sejam positivos, condição necessária para aplicar esse teste.

Passo 3

Enunciado do Teste da Comparação no Limite (explicado de forma simples):
Sejam a_n e b_n sequências de termos positivos. Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
existe e 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas (isto é, ou as duas convergem ou as duas divergem). Aqui L é um número finito e positivo que diz que a_n e b_n têm o mesmo comportamento assintótico.

Passo 4

Escolhemos comparar com
b_n=\frac{1}{2^{n}}.
Agora calculamos o limite da razão a_n/b_n. Primeiro escrevo a_n explicitamente:
a_n=\frac{n+5}{n\,2^{n}}.
Então
\frac{a_n}{b_n} =\frac{\dfrac{n+5}{n\,2^{n}}}{\dfrac{1}{2^{n}}} =\frac{n+5}{n}\cdot\frac{2^{n}}{2^{n}} =\frac{n+5}{n}.
Observe que ao dividir por 1/2^{n} multiplicamos por 2^{n} e esses fatores 2^{n} se cancelam. Agora calculamos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+5}{n} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{5}{n}\right)=1+0=1.
Portanto o limite L é 1, que é um número finito e positivo.

Passo 5

Conclusão pelo Teste da Comparação no Limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty),
as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas. Sabemos que a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}
converge, porque é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} e |r|<1. (Lembrete rápido: a soma da geométrica a partir de n=1 é \dfrac{r}{1-r}, aqui \dfrac{1/2}{1-1/2}=1, mas só precisamos saber que ela converge.) Logo, pela comparação no limite, a série original também converge.

Passo 6

Comentário adicional (opcional, para você ter outra ferramenta rápida na prova): note que para n\ge 1 temos \dfrac{n+5}{n}\le 6. Portanto
\frac{n+5}{n\,2^{n}}\le 6\cdot\frac{1}{2^{n}}.
Como \sum 1/2^{n} converge, pela comparação direta com a constante 6 multiplicando a geométrica concluímos novamente que a série original converge. Isso é útil quando você prefere aplicar comparação direta sem limites.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+5}{n\,2^{n}} converge.

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