Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede que se use o teste do limite da comparação para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}+1}
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A sequência dos termos gerais é a_n=\dfrac{n^{2}}{n^{3}+1}.
  • A série é de soma sobre n de a_n desde n=1 até infinito.
  • Não há outras condições; devemos aplicar o teste do limite da comparação (limit comparison test).

Passo 2

Vou lembrar o enunciado do teste do limite da comparação (explicado passo a passo e em linguagem simples).
  • Seja a_n e b_n duas sequências com termos positivos para todo n grande o suficiente.
  • Defina o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},
quando esse limite existe (finito ou infinito).
  • Conclusões do teste:
    • Se 0< L<\infty (isto é, L é um número positivo finito), então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas (ou seja, ou ambas convergem, ou ambas divergem).
    • Se L=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
    • Se L=+\infty e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.
      Explicando as variáveis: a_n é o termo da série que queremos estudar; b_n é uma série conhecida (mais simples) escolhida para comparar. O teste funciona bem quando a_n e b_n têm o mesmo comportamento assintótico (mesma ordem de grandeza).

Passo 3

Escolher uma série comparadora b_n. Observando a_n=\dfrac{n^{2}}{n^{3}+1}, para n grande o termo dominante no denominador é n^{3}, então a_n se comporta como \dfrac{n^{2}}{n^{3}}=\dfrac{1}{n}. Portanto uma escolha natural e simples é
b_n=\frac{1}{n},
que é o termo do famoso somatório harmônico \sum \dfrac{1}{n}. Lembrete rápido: a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é divergente (isso é um fato padrão; pode ser visto pelo teste da integral ou pela comparação em blocos).

Passo 4

Calcular o limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}. Substituindo a_n e b_n:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{n^{2}}{n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n}} =\frac{n^{2}}{n^{3}+1}\cdot n =\frac{n^{3}}{n^{3}+1}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Uma forma clara é dividir numerador e denominador por n^{3}:
\frac{n^{3}}{n^{3}+1} =\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Tomando n\to\infty, \dfrac{1}{n^{3}}\to 0, logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+1} =\frac{1}{1+0}=1.

Passo 5

Interpretar o resultado do limite à luz do teste do limite da comparação:
  • Obtivemos L=1, que satisfaz 0< L<\infty.
  • Portanto, pela conclusão do teste, a série \sum a_n e a série \sum b_n têm o mesmo comportamento em termos de convergência/divergência.

Passo 6

Concluir usando o fato conhecido sobre \sum b_n:
  • A série comparadora é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que é a série harmônica e é divergente.
  • Como L=1>0 e a série comparadora diverge, a série dada também diverge por o teste do limite da comparação.

Resposta

A série diverge.

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