Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede que se use o teste do limite da comparação para verificar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A sequência dos termos gerais é
. - A série é de soma sobre
de desde até infinito. - Não há outras condições; devemos aplicar o teste do limite da comparação (limit comparison test).
Passo 2
Vou lembrar o enunciado do teste do limite da comparação (explicado passo a passo e em linguagem simples).
- Seja
e duas sequências com termos positivos para todo grande o suficiente. - Defina o limite
quando esse limite existe (finito ou infinito).
- Conclusões do teste:
- Se
(isto é, é um número positivo finito), então as séries e convergem ou divergem juntas (ou seja, ou ambas convergem, ou ambas divergem). - Se
e converge, então também converge. - Se
e diverge, então também diverge.
Explicando as variáveis:é o termo da série que queremos estudar; é uma série conhecida (mais simples) escolhida para comparar. O teste funciona bem quando e têm o mesmo comportamento assintótico (mesma ordem de grandeza).
- Se
Passo 3
Escolher uma série comparadora
. Observando
, para
grande o termo dominante no denominador é
, então
se comporta como
. Portanto uma escolha natural e simples é
que é o termo do famoso somatório harmônico
. Lembrete rápido: a série harmônica
é divergente (isso é um fato padrão; pode ser visto pelo teste da integral ou pela comparação em blocos).
Passo 4
Calcular o limite
. Substituindo
e
:
Agora calculamos o limite quando
. Uma forma clara é dividir numerador e denominador por
:
Tomando
,
, logo
Passo 5
Interpretar o resultado do limite à luz do teste do limite da comparação:
- Obtivemos
, que satisfaz . - Portanto, pela conclusão do teste, a série
e a série têm o mesmo comportamento em termos de convergência/divergência.
Passo 6
Concluir usando o fato conhecido sobre
:
- A série comparadora é
, que é a série harmônica e é divergente. - Como
e a série comparadora diverge, a série dada também diverge por o teste do limite da comparação.
Resposta
A série diverge.