Considere um sistema composto de N partículas quânticas de dois níveis que podem ter energia \epsilon ou -\epsilon, calcule
5-
A) - o número de micro estados acessíveis ao sistema;
B) - a entropia por partícula no limite termodinâmico;
C) - a energia por partículas em ternos da temperatura (u(T));
D) - o calor específico por partícula em termos da temperatura ( C(T) ).

Passo 1

O enunciado dá um sistema com N partículas quânticas de dois níveis, cada partícula podendo ter energia \epsilon ou -\epsilon. As perguntas são:
A) Qual é o número de microestados acessíveis ao sistema?
B) Qual é a entropia por partícula no limite termodinâmico?
C) Qual é a energia por partícula em termos da temperatura, u(T)?
D) Qual é o calor específico por partícula em termos da temperatura, C(T)?
Informações/hipóteses implícitas que vamos usar (tiradas do enunciado):
  • N partículas independentes (não interagem), cada uma com apenas dois níveis de energia \pm\epsilon.
  • Usaremos conceitos padrão de mecânica estatística: função de partição canônica, energia média, entropia canônica e calor específico.

Passo 2

Primeiro vou responder (A) usando contagem combinatória simples (princípio multiplicativo). Depois uso o formalismo canônico (mais direto para obter energia média, entropia por partícula e calor específico) porque as partículas são independentes e a canônica é a forma mais simples e segura para obter u(T), S e C(T). Vou justificar cada fórmula que aparecer, passo a passo, como se estivéssemos na prova.

Passo 3

Cada partícula tem 2 estados possíveis ( +\epsilon ou -\epsilon). Pela regra do produto, o número total de microestados do sistema (todas as configurações possíveis das N partículas) é
\Omega_{\text{total}} = 2^N.
Além disso, se quisermos a multiplicidade para um macroestado com exatamente n partículas no nível +\epsilon (e, portanto, N-n no nível -\epsilon), a multiplicidade é a combinatória
\Omega(n)=\binom{N}{n},
porque escolhemos quais n partículas estão no estado de energia +\epsilon. A energia total correspondente a esse n é
E(n)=n\epsilon + (N-n)(- \epsilon) = (2n-N)\,\epsilon.
(Estas fórmulas são úteis se quiser relacionar multiplicidade e energia.)

Passo 4

Como as partículas são independentes, é prático usar o ensemble canônico. Definições importantes:
  • k_B é a constante de Boltzmann.
  • \beta=\dfrac{1}{k_B T}.
  • A função de partição de uma partícula (partição simples dos dois níveis) é
z = \sum_{i} e^{-\beta E_i}.
Aqui os dois níveis têm E_1=+\epsilon e E_2=-\epsilon, então
z = e^{-\beta \epsilon} + e^{\beta \epsilon} = 2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon).
Como as partículas são independentes e indistinguíveis em contagem multiplicativa de microestados canônicos, a função de partição total é
Z = z^N = \bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr)^N.
Explico: a função de partição é uma soma ponderada por fatores de Boltzmann e^{-\beta E} sobre todos os microestados; para partículas independentes multiplicamos as partições por partícula.

Passo 5

No ensemble canônico, a energia média total é dada por
U = -\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z.
Como \ln Z = N\ln z, obtemos
U = -N\frac{\partial}{\partial \beta}\ln z.
Calculemos \dfrac{\partial}{\partial \beta}\ln z com z=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon):
\frac{\partial}{\partial \beta}\ln z = \frac{1}{z}\cdot \frac{\partial z}{\partial \beta} = \frac{1}{2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)}\cdot 2\epsilon\operatorname{sinh}(\beta\epsilon) = \epsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\epsilon).
Logo
U = -N\,\epsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\epsilon).
A energia por partícula é
u(T)=\frac{U}{N} = -\epsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\epsilon).
Interpretação rápida: em baixas temperaturas ( T\to0, \beta\to\infty) \operatorname{tanh}(\beta\epsilon)\to 1 então u\to -\epsilon (todas no nível mais baixo); em altas temperaturas ( T\to\infty) \operatorname{tanh}\to 0 então u\to 0 (ocupação igual dos dois níveis).

Passo 6

No ensemble canônico a entropia total S satisfaz a relação
S = k_B\ln Z + \beta U.
(Justificativa curta: F=-k_B T\ln Z é a energia livre e S=-\partial F/\partial T. Fazendo a derivada obtém-se S=k_B\ln Z+\beta U.) Dividindo por N obtemos a entropia por partícula s=S/N. Usando \ln Z = N\ln z e U calculado antes:
s = \frac{S}{N} = k_B\ln z + \beta u.
Substituindo z=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon) e u=-\epsilon\operatorname{tanh}(\beta\epsilon),
s = k_B\Bigl[\ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr) - \beta\epsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\epsilon)\Bigr].
Isto é a entropia por partícula no limite termodinâmico (o limite N\to\infty não altera a expressão por partícula porque as partículas são independentes). Aqui cada termo tem sentido físico: \ln(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)) mede o número efetivo de estados térmicos por partícula e o termo -\beta\epsilon\operatorname{tanh}(\beta\epsilon) ajusta pela energia média.

Passo 7

O calor específico por partícula é a derivada da energia por partícula em relação à temperatura:
C(T)=\frac{du}{dT}.
É mais simples primeiro derivar u em relação a \beta e depois usar d\beta/dT=-1/(k_B T^2). Temos u(\beta)=-\epsilon\operatorname{tanh}(\beta\epsilon). Diferenciando em \beta:
\frac{du}{d\beta} = -\epsilon\cdot \epsilon\,\operatorname{sech}^2(\beta\epsilon) = -\epsilon^2\,\operatorname{sech}^2(\beta\epsilon),
porque \dfrac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\operatorname{sech}^2 x. Então
\frac{du}{dT}=\frac{du}{d\beta}\cdot\frac{d\beta}{dT} = -\epsilon^2\,\operatorname{sech}^2(\beta\epsilon)\cdot\left(-\frac{1}{k_B T^2}\right) = \frac{\epsilon^2}{k_B T^2}\,\operatorname{sech}^2(\beta\epsilon).
Escrevendo em forma mais compacta usando \beta=1/(k_B T),
C(T)=k_B\,(\beta\epsilon)^2\,\operatorname{sech}^2(\beta\epsilon).
Também pode ser colocada como
C(T)=\frac{\epsilon^2}{k_B T^2}\,\frac{1}{\operatorname{cosh}^2\!\bigl(\dfrac{\epsilon}{k_B T}\bigr)}.
Limites de cheque: em T\to0 ou T\to\infty esse C(T) tende a zero, e tem um máximo em temperatura da ordem de \epsilon/k_B.

Passo 8

  • A quantidade \beta\epsilon=\dfrac{\epsilon}{k_B T} é a variável adimensional que controla ocupações térmicas.
  • As fórmulas são simples e práticas: a entropia e energia por partícula foram obtidas diretamente da função de partição de uma partícula z=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon).
  • Se preferir, pode-se derivar a mesma entropia por partícula a partir da multiplicidade microcanônica \Omega(n)=\binom{N}{n} usando aproximação de Stirling e fazendo N\to\infty; o resultado coincide com a expressão canônica acima (esta equivalência microcanônico–canônico é padrão no limite termodinâmico para sistemas grandes e independentes).

Resposta

A) \; \Omega_{\text{total}}=2^N (e para um estado com n partículas em +\epsilon: \Omega(n)=\binom{N}{n}).
B) \; s=\dfrac{S}{N}=k_B\Bigl[\ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr)-\beta\epsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\epsilon)\Bigr], com \beta=\dfrac{1}{k_B T}.
C) \; u(T)=\dfrac{U}{N} = -\epsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\epsilon).
D) \; C(T)=\dfrac{du}{dT}=k_B\,(\beta\epsilon)^2\,\operatorname{sech}^2(\beta\epsilon)=\dfrac{\epsilon^2}{k_B T^2}\,\dfrac{1}{\operatorname{cosh}^2\!\bigl(\dfrac{\epsilon}{k_B T}\bigr)}.

Exercícios relacionados