Considere um sistema composto de
partículas quânticas de dois níveis que podem ter energia
ou
, calcule
5-
A) - o número de micro estados acessíveis ao sistema;
B) - a entropia por partícula no limite termodinâmico;
C) - a energia por partículas em ternos da temperatura
;
D) - o calor específico por partícula em termos da temperatura (
).
5-
A) - o número de micro estados acessíveis ao sistema;
B) - a entropia por partícula no limite termodinâmico;
C) - a energia por partículas em ternos da temperatura
D) - o calor específico por partícula em termos da temperatura (
Passo 1
O enunciado dá um sistema com
partículas quânticas de dois níveis, cada partícula podendo ter energia
ou
. As perguntas são:
A) Qual é o número de microestados acessíveis ao sistema?
B) Qual é a entropia por partícula no limite termodinâmico?
C) Qual é a energia por partícula em termos da temperatura, ?
D) Qual é o calor específico por partícula em termos da temperatura, ?
B) Qual é a entropia por partícula no limite termodinâmico?
C) Qual é a energia por partícula em termos da temperatura,
D) Qual é o calor específico por partícula em termos da temperatura,
Informações/hipóteses implícitas que vamos usar (tiradas do enunciado):
- Há
partículas independentes (não interagem), cada uma com apenas dois níveis de energia . - Usaremos conceitos padrão de mecânica estatística: função de partição canônica, energia média, entropia canônica e calor específico.
Passo 2
Primeiro vou responder (A) usando contagem combinatória simples (princípio multiplicativo). Depois uso o formalismo canônico (mais direto para obter energia média, entropia por partícula e calor específico) porque as partículas são independentes e a canônica é a forma mais simples e segura para obter
,
e
. Vou justificar cada fórmula que aparecer, passo a passo, como se estivéssemos na prova.
Passo 3
Cada partícula tem 2 estados possíveis (
ou
). Pela regra do produto, o número total de microestados do sistema (todas as configurações possíveis das
partículas) é
Além disso, se quisermos a multiplicidade para um macroestado com exatamente
partículas no nível
(e, portanto,
no nível
), a multiplicidade é a combinatória
porque escolhemos quais
partículas estão no estado de energia
. A energia total correspondente a esse
é
(Estas fórmulas são úteis se quiser relacionar multiplicidade e energia.)
Passo 4
Como as partículas são independentes, é prático usar o ensemble canônico. Definições importantes:
-
é a constante de Boltzmann. -
. - A função de partição de uma partícula (partição simples dos dois níveis) é
Aqui os dois níveis têm
e
, então
Como as partículas são independentes e indistinguíveis em contagem multiplicativa de microestados canônicos, a função de partição total é
Explico: a função de partição é uma soma ponderada por fatores de Boltzmann
sobre todos os microestados; para partículas independentes multiplicamos as partições por partícula.
Passo 5
No ensemble canônico, a energia média total é dada por
Como
, obtemos
Calculemos
com
:
Logo
A energia por partícula é
Interpretação rápida: em baixas temperaturas (
,
)
então
(todas no nível mais baixo); em altas temperaturas (
)
então
(ocupação igual dos dois níveis).
Passo 6
No ensemble canônico a entropia total
satisfaz a relação
(Justificativa curta:
é a energia livre e
. Fazendo a derivada obtém-se
.) Dividindo por
obtemos a entropia por partícula
. Usando
e
calculado antes:
Substituindo
e
,
Isto é a entropia por partícula no limite termodinâmico (o limite
não altera a expressão por partícula porque as partículas são independentes). Aqui cada termo tem sentido físico:
mede o número efetivo de estados térmicos por partícula e o termo
ajusta pela energia média.
Passo 7
O calor específico por partícula é a derivada da energia por partícula em relação à temperatura:
É mais simples primeiro derivar
em relação a
e depois usar
. Temos
. Diferenciando em
:
porque
. Então
Escrevendo em forma mais compacta usando
,
Também pode ser colocada como
Limites de cheque: em
ou
esse
tende a zero, e tem um máximo em temperatura da ordem de
.
Passo 8
- A quantidade
é a variável adimensional que controla ocupações térmicas. - As fórmulas são simples e práticas: a entropia e energia por partícula foram obtidas diretamente da função de partição de uma partícula
. - Se preferir, pode-se derivar a mesma entropia por partícula a partir da multiplicidade microcanônica
usando aproximação de Stirling e fazendo ; o resultado coincide com a expressão canônica acima (esta equivalência microcanônico–canônico é padrão no limite termodinâmico para sistemas grandes e independentes).
Resposta
A)
(e para um estado com
partículas em
:
).
B) , com
.
C) .
D) .
B)
C)
D)