3- Considerando o sólido de Einstein com
osciladores de frequência
, calcule
A) o potencial químico em termos da temperatura
;
B) o grande potencial termodinâmico por partículas em termos da temperatura e do potencial químico
.
A) o potencial químico em termos da temperatura
B) o grande potencial termodinâmico por partículas em termos da temperatura e do potencial químico
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, para um sólido de Einstein com
osciladores todos com frequência
:
- A) Determinar o potencial químico
como função da temperatura, ou seja . - B) Determinar o grande potencial termodinâmico por partícula
, em função da temperatura e do potencial químico .
Informações dadas (explicitadas):
- Há
osciladores independentes, cada um com níveis de energia quantizados. - A energia de cada nível do oscilador harmónico é
com . - Vamos usar notação padrão:
, onde é a constante de Boltzmann, e é a constante de Planck reduzida.
Passo 2
Entender o significado físico do potencial químico neste sistema e por que ele costuma ser especial para osciladores (fônons).
Aula rápida e intuitiva:
- O potencial químico
aparece quando tratamos um sistema que pode trocar partículas (ou quanta) com um reservatório; ele “pesa” o custo de trocar uma partícula. - No modelo de Einstein estamos lidando com vibrações quânticas do cristal (modos oscilatórios). Os quanta dessas vibrações (fônons) não são conservados: o número de fônons pode variar livremente, pois as vibrações podem ser criadas/aniquiladas sem restrição de conservação de número de partículas.
- Para sistemas onde o número de partículas/quanta não é conservado (como fótons e fônons), o equilíbrio termodinâmico exige que o potencial químico associado a esses quanta seja
. Intuição: não existe um “reservatório de partículas” impondo uma conservação do número desses quanta; a energia é trocada mas não há um termo que fixe a média do número de quanta via um . - Portanto, sem cálculo formal adicional, a conclusão física é
para os quanta da vibração (fônons) em um sólido de Einstein — isso independe da temperatura.
Passo 3
Fazer a derivação formal do grande potencial por partícula usando o formalismo de grande-canonical (para deixar tudo bem claro, e mostrar como
entra nas fórmulas).
Definições e lembretes:
- Grande partição (do sistema inteiro) é
. - Grande potencial
(também denotado em alguns textos) é . - Como os osciladores são independentes e idênticos, é suficiente calcular a contribuição de um único oscilador e multiplicar por
. Assim definimos a grande partição por oscilador e . Então , e assim o grande potencial por partícula é
Agora calcular
explicitamente:
- A energia total de um estado com
quanta do modo é . - O número de quanta nesse estado é
. Portanto o fator na soma da grande partição (por modo) é
- Somando
até (série geométrica) obtemos
- A soma converge se
, isto é . A soma geométrica dá
Passo 4
Calcular explicitamente
a partir de
e interpretar o resultado.
- Usando
e a expressão encontrada:
- Multiplicando por
obtemos
- Esta é a expressão do grande potencial por oscilador incluindo o termo de energia de ponto-zero
. Observações: - Muitas vezes, em termodinâmica de fônons, o termo de ponto-zero é desprezado porque não afeta capacidades térmicas (é independente de
). Se o objetivo for apenas quantidades térmicas que derivam de derivadas em , pode-se omitir a constante . Mas matematicamente, a expressão completa é a dada acima. - Para o caso físico dos fônons (os quanta vibracionais) afirmamos no Passo 2 que
. Substituindo na expressão, obtemos a forma usual:
- Muitas vezes, em termodinâmica de fônons, o termo de ponto-zero é desprezado porque não afeta capacidades térmicas (é independente de
Passo 5
Verificação e limites úteis (curtinho, para ganhar intuição):
- Limite de altas temperaturas (
): expandindo dá comportamento compatível com a energia clássica por modo (equipartição) após derivadas apropriadas; o termo torna-se irrelevante termicamente. - Limite de baixas temperaturas (
): muito pequeno, então — domínio dominado pelo zero-point.
Resposta
A)
B)