Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor de
, onde:
- O campo vetorial dado é
. - A curva parametrizada é
, com . - A integral é a integral de linha do campo ao longo da curva
definida por no intervalo dado.
O que se pede explicitamente:
- Calcular
(valor numérico em termos exatos).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Componentes de
: primeira componente , segunda componente , terceira componente . - Parametrização
com , , . - Intervalo de parametrização:
varia de até .
Passo 2
Ideia chave (teorema que vamos usar): se um campo vetorial
é gradiente de alguma função escalar
(isto é,
), então a integral de linha ao longo de uma curva
parametrizada por
,
, satisfaz
Esta é a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha (também chamada de teorema de gradiente). Aqui
é chamada de potencial do campo
. Explicando as notações:
-
. - Se encontrarmos
tal que , , , então podemos aplicar a fórmula acima e só precisar avaliar nos extremos da curva.
Plano de ação concreto:
- Tentar encontrar
tal que . - Se encontrar, avaliar
em e em e subtrair.
Passo 3
Procurando a função potencial
: usar as relações
Integramos a primeira igualdade em relação a
:
onde
é uma função arbitrária que pode depender de
e
(porque ao derivar
em
dá
e qualquer função independente de
desaparece).
Passo 4
Agora usamos a segunda igualdade para determinar
. Calculamos
a partir da expressão obtida:
Mas sabemos que essa derivada deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados obtemos
Integramos agora em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante em relação a
).
Portanto até agora
Passo 5
Usamos a terceira igualdade para determinar
. Calculamos
:
Isso deve ser igual a
. Logo
Assim
é constante:
.
Concluímos que uma função potencial é
Como constantes somadas ao potencial não alteram o gradiente, podemos escolher
para simplificar:
Comentário pedagógico rápido: encontramos
explicitamente verificando que suas derivadas parciais coincidem com as componentes de
. Isso prova que
é um campo conservativo e justifica o uso do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
Passo 6
Aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha: como
,
Vamos calcular
nas extremidades. Primeiro, escrever
:
Lembrando que
,
,
, temos
Passo 7
Avaliar em
. Primeiro calcular seno:
Então
Substituindo em
:
Passo 8
Avaliar em
. Primeiro calcular seno:
Então
Agora
já usado. Substituindo em
:
Passo 9
Subtrair as avaliações para obter a integral:
Portanto