Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s}, onde \mathbf{F} é o campo vetorial em \mathbb{R}^{3} dado por \mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{y}, x e^{y}+\sin z, y \cos z\right) e C é a curva \sigma(t)=(-2 \sin t+1, \sin t-1, t), \pi / 2 \leq t \leq 7 \pi / 6.

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor de \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}, onde:
  • O campo vetorial dado é \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(e^{y},\,x e^{y}+\sin z,\,y\cos z\bigr).
  • A curva parametrizada é \sigma(t)=\bigl(-2\sin t+1,\\ \sin t-1,\\ t\bigr), com \pi/2 \le t \le 7\pi/6.
  • A integral é a integral de linha do campo ao longo da curva C definida por \sigma no intervalo dado.
O que se pede explicitamente:
  • Calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} (valor numérico em termos exatos).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Componentes de \mathbf{F}: primeira componente F_1(x,y,z)=e^{y}, segunda componente F_2(x,y,z)=x e^{y}+\sin z, terceira componente F_3(x,y,z)=y\cos z.
  • Parametrização \sigma(t) = (x(t),y(t),z(t)) com x(t)=-2\sin t+1, y(t)=\sin t-1, z(t)=t.
  • Intervalo de parametrização: t varia de \pi/2 até 7\pi/6.

Passo 2

Ideia chave (teorema que vamos usar): se um campo vetorial \mathbf{F} é gradiente de alguma função escalar \varphi (isto é, \mathbf{F}=\nabla\varphi), então a integral de linha ao longo de uma curva C parametrizada por \sigma(t), a\le t\le b, satisfaz
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\varphi\bigl(\sigma(b)\bigr)-\varphi\bigl(\sigma(a)\bigr).
Esta é a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha (também chamada de teorema de gradiente). Aqui \varphi é chamada de potencial do campo \mathbf{F}. Explicando as notações:
  • \nabla\varphi=(\partial\varphi/\partial x,\\ \partial\varphi/\partial y,\\ \partial\varphi/\partial z).
  • Se encontrarmos \varphi tal que \partial\varphi/\partial x = F_1, \partial\varphi/\partial y = F_2, \partial\varphi/\partial z = F_3, então podemos aplicar a fórmula acima e só precisar avaliar \varphi nos extremos da curva.
Plano de ação concreto:
  1. Tentar encontrar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  2. Se encontrar, avaliar \varphi em \sigma(7\pi/6) e em \sigma(\pi/2) e subtrair.

Passo 3

Procurando a função potencial \varphi: usar as relações
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=e^{y},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x e^{y}+\sin z,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=y\cos z.
Integramos a primeira igualdade em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=e^{y}\quad\Rightarrow\quad \varphi(x,y,z)=x e^{y}+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z (porque ao derivar x e^{y} em x e^{y} e qualquer função independente de x desaparece).

Passo 4

Agora usamos a segunda igualdade para determinar g. Calculamos \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{y}+g(y,z)\bigr) = x e^{y} + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Mas sabemos que essa derivada deve ser igual a F_2(x,y,z)=x e^{y}+\sin z. Igualando:
x e^{y} + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = x e^{y} + \sin z.
Cancelando x e^{y} dos dois lados obtemos
\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=\sin z.
Integramos agora em relação a y:
g(y,z)= y\sin z + h(z),
onde h(z) é uma função arbitrária de z (constante em relação a y).
Portanto até agora
\varphi(x,y,z)=x e^{y} + y\sin z + h(z).

Passo 5

Usamos a terceira igualdade para determinar h(z). Calculamos \partial\varphi/\partial z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x e^{y} + y\sin z + h(z)\bigr) = 0 + y\cos z + h'(z).
Isso deve ser igual a F_3(x,y,z)=y\cos z. Logo
y\cos z + h'(z) = y\cos z \quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Assim h(z) é constante: h(z)=C.
Concluímos que uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=x e^{y} + y\sin z + C.
Como constantes somadas ao potencial não alteram o gradiente, podemos escolher C=0 para simplificar:
\varphi(x,y,z)=x e^{y} + y\sin z.
Comentário pedagógico rápido: encontramos \varphi explicitamente verificando que suas derivadas parciais coincidem com as componentes de \mathbf{F}. Isso prova que \mathbf{F} é um campo conservativo e justifica o uso do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.

Passo 6

Aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha: como \mathbf{F}=\nabla\varphi,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\varphi\bigl(\sigma(7\pi/6)\bigr)-\varphi\bigl(\sigma(\pi/2)\bigr).
Vamos calcular \varphi nas extremidades. Primeiro, escrever \varphi(\sigma(t)):
\varphi(\sigma(t)) = x(t)e^{y(t)} + y(t)\sin z(t).
Lembrando que x(t)=-2\sin t+1, y(t)=\sin t-1, z(t)=t, temos
\varphi(\sigma(t)) = \bigl(-2\sin t + 1\bigr)\,e^{\sin t - 1} + \bigl(\sin t - 1\bigr)\sin t.

Passo 7

Avaliar em t=\pi/2. Primeiro calcular seno:
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Então
x\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -2\cdot 1 + 1 = -1, \qquad y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1 - 1 = 0, \qquad z\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}.
Substituindo em \varphi:
\varphi\bigl(\sigma(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = (-1)\,e^{0} + 0\cdot\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -1.

Passo 8

Avaliar em t=7\pi/6. Primeiro calcular seno:
\sin\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr)=\sin\!\bigl(\pi+\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\tfrac{1}{2}.
Então
x\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = -2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) + 1 = 1 + 1 = 2,
y\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = -\tfrac{1}{2} - 1 = -\tfrac{3}{2},
z\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = \tfrac{7\pi}{6}.
Agora \sin\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr)=-\tfrac{1}{2} já usado. Substituindo em \varphi:
\varphi\bigl(\sigma(\tfrac{7\pi}{6})\bigr) = 2\,e^{-3/2} + \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 2 e^{-3/2} + \tfrac{3}{4}.

Passo 9

Subtrair as avaliações para obter a integral:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} = \varphi\bigl(\sigma(\tfrac{7\pi}{6})\bigr) - \varphi\bigl(\sigma(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = \bigl(2 e^{-3/2} + \tfrac{3}{4}\bigr) - (-1).
Portanto
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} = 2 e^{-3/2} + \tfrac{3}{4} + 1 = 2 e^{-3/2} + \tfrac{7}{4}.

Resposta

2 e^{-3/2} + \tfrac{7}{4}

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