Calcule e demonstre os limites.
Passo 1
O problema pede claramente: calcular
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é
. - A expressão está indefinida quando
(pois o denominador fica zero). - O ponto de interesse é
, que pertence à reta (logo a função original não está definida exatamente nesse ponto). - A tarefa é determinar se existe um limite quando
se aproxima de por pontos onde a expressão faz sentido, e se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Vamos manipular algebricamente o numerador para ver se a expressão simplifica. Há uma identidade algébrica conhecida (diferença de quadrados):
Isso é uma fatoração padrão: multiplica-se
por
e obtém-se
.
Passo 3
Usando a fatoração, escrevemos a função (quando
) como
Para todos os pontos em que
podemos cancelar o fator
no numerador e denominador, obtendo
Portanto, a função dada coincide com a função mais simples
em toda vizinhança de
exceto sobre a reta
.
Passo 4
Agora usemos uma ideia básica de limites: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança deletada de um ponto (ou seja, coincidem em todos os pontos perto do ponto, exceto possivelmente no próprio ponto e em uma pequena exceção como uma reta), então elas têm o mesmo limite naquele ponto, desde que o limite exista. Aqui, a função original e
coincidem em todos os pontos próximos de
com
. Logo
desde que o limite à direita exista.
Passo 5
A função
é uma soma de funções coordenadas (polinômio) e polinômios são contínuos em todo
. Para funções contínuas, o limite no ponto coincide com o valor da função naquele ponto. Portanto
Passo 6
Para ficar totalmente rigoroso: mesmo que a expressão original esteja indefinida quando
, isso não impede a existência do limite, porque existem pontos arbitrariamente próximos a
com
(por exemplo
ou
). Em todos esses pontos a função vale
, e esse valor tende a
quando
. Assim o limite existe e é
.
(Opcional — esboço de demonstração
-
: para mostrar que
, note que
Se escolhermos
e exigirmos
, então
e
, daí
.)
Passo 7
Portanto o limite pedido existe e vale
.