Calcule e demonstre os limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}

Passo 1

O problema pede claramente: calcular
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x-y}.
  • A expressão está indefinida quando x=y (pois o denominador fica zero).
  • O ponto de interesse é (2,2), que pertence à reta x=y (logo a função original não está definida exatamente nesse ponto).
  • A tarefa é determinar se existe um limite quando (x,y) se aproxima de (2,2) por pontos onde a expressão faz sentido, e se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o numerador para ver se a expressão simplifica. Há uma identidade algébrica conhecida (diferença de quadrados):
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Isso é uma fatoração padrão: multiplica-se (x-y) por (x+y) e obtém-se x^{2}-y^{2}.

Passo 3

Usando a fatoração, escrevemos a função (quando x\neq y) como
\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}.
Para todos os pontos em que x\neq y podemos cancelar o fator x-y no numerador e denominador, obtendo
\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=x+y\qquad\text{(para }x\neq y\text{)}.
Portanto, a função dada coincide com a função mais simples g(x,y)=x+y em toda vizinhança de (2,2) exceto sobre a reta x=y.

Passo 4

Agora usemos uma ideia básica de limites: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança deletada de um ponto (ou seja, coincidem em todos os pontos perto do ponto, exceto possivelmente no próprio ponto e em uma pequena exceção como uma reta), então elas têm o mesmo limite naquele ponto, desde que o limite exista. Aqui, a função original e g(x,y)=x+y coincidem em todos os pontos próximos de (2,2) com x\neq y. Logo
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y} = \lim_{(x,y)\to(2,2)} (x+y),
desde que o limite à direita exista.

Passo 5

A função g(x,y)=x+y é uma soma de funções coordenadas (polinômio) e polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}^{2}. Para funções contínuas, o limite no ponto coincide com o valor da função naquele ponto. Portanto
\lim_{(x,y)\to(2,2)} (x+y)=g(2,2)=2+2=4.

Passo 6

Para ficar totalmente rigoroso: mesmo que a expressão original esteja indefinida quando x=y, isso não impede a existência do limite, porque existem pontos arbitrariamente próximos a (2,2) com x\neq y (por exemplo (2+\tfrac{1}{n},2) ou (2,2+\tfrac{1}{n})). Em todos esses pontos a função vale x+y, e esse valor tende a 4 quando (x,y)\to(2,2). Assim o limite existe e é 4.
(Opcional — esboço de demonstração \varepsilon- \delta: para mostrar que \lim_{(x,y)\to(2,2)}(x+y)=4, note que
| (x+y)-4| = |(x-2)+(y-2)| \le |x-2|+|y-2|.
Se escolhermos \delta=\varepsilon/2 e exigirmos \sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}<\delta, então |x-2|<\delta e |y-2|<\delta, daí |(x+y)-4|<2\delta=\varepsilon.)

Passo 7

Portanto o limite pedido existe e vale 4.

Resposta

\,4\,

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