Calcule e demonstre os limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,1)} \frac{x^{2}-9 y^{2}}{x-3 y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando (x,y) tende a (3,1):
\lim_{(x,y)\to(3,1)} \frac{x^{2}-9y^{2}}{x-3y}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função de duas variáveis F(x,y)=\dfrac{x^{2}-9y^{2}}{x-3y}.
  • O ponto de interesse é (3,1).
  • Observação importante (visível do enunciado): em (3,1) o denominador é 3-3\cdot1=0, então F não está definida no ponto alvo — estamos procurando apenas o limite, não o valor da função no ponto.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador e tentar escrever de uma forma que facilite o cancelamento do denominador. O numerador é
x^{2}-9y^{2}.
Isso é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar a=x e b=3y. Aplicando a fórmula obtemos:
x^{2}-9y^{2}=(x-3y)(x+3y).

Passo 3

Substituindo essa fatoração na expressão do limite temos, para todos os pontos onde x-3y\neq0,
\frac{x^{2}-9y^{2}}{x-3y}=\frac{(x-3y)(x+3y)}{x-3y}.
Quando podemos dividir por x-3y (isto é, para pontos com x\neq3y), o fator x-3y cancela e sobra a expressão simples
\frac{x^{2}-9y^{2}}{x-3y}=x+3y.

Passo 4

Explicação didática do passo anterior (por que isso é válido para o limite): o limite \lim_{(x,y)\to(3,1)} só se interessa no comportamento de F(x,y) para pontos próximos de (3,1), mas diferentes de (3,1). Em qualquer ponto próximo que não esteja exatamente na reta x=3y a expressão é igual a x+3y. Portanto, ao avaliar o limite, podemos estudar a função simplificada G(x,y)=x+3y nas vizinhanças de (3,1) (exceto na própria reta onde a função original não está definida). Isto é uma técnica comum: fatorar e simplificar onde possível antes de passar ao cálculo do limite.

Passo 5

Agora use a continuidade da função simplificada. A função
G(x,y)=x+3y
é uma função polinomial (linear) das variáveis x e y. Polinômios e funções lineares são contínuas em todo ponto do plano. A propriedade importante é: se G é contínua em (3,1), então
\lim_{(x,y)\to(3,1)} G(x,y)=G(3,1).
Como para pontos próximos (mas não sobre x=3y) temos F(x,y)=G(x,y), o limite de F ao se aproximar de (3,1) coincide com o limite de G em (3,1).

Passo 6

Calcule o valor de G em (3,1):
G(3,1)=3+3\cdot1=3+3=6.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(3,1)} \frac{x^{2}-9y^{2}}{x-3y}=6.

Passo 7

Comentário de verificação por caminhos (reassurance): se preferir, dá para verificar tomando caminhos concretos que não fiquem na reta x=3y, por exemplo:
  • ao aproximar por y=1 e x\to3: a expressão vira \dfrac{x^{2}-9}{x-3}=x+3 e tende para 6;
  • ao aproximar por x\to3 e y\to1 de forma geral (com x\neq3y), sempre se obtém x+3y\to6.
    Isso confirma que o limite é independente do caminho (desde que não se ande exatamente sobre a reta onde a função original está indefinida).

Resposta

6

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