Calcule e demonstre os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão é a função de duas variáveis
. - O ponto de interesse é
. - Observação importante (visível do enunciado): em
o denominador é , então não está definida no ponto alvo — estamos procurando apenas o limite, não o valor da função no ponto.
Passo 2
Vamos olhar para o numerador e tentar escrever de uma forma que facilite o cancelamento do denominador. O numerador é
Isso é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é:
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar
e
. Aplicando a fórmula obtemos:
Passo 3
Substituindo essa fatoração na expressão do limite temos, para todos os pontos onde
,
Quando podemos dividir por
(isto é, para pontos com
), o fator
cancela e sobra a expressão simples
Passo 4
Explicação didática do passo anterior (por que isso é válido para o limite): o limite
só se interessa no comportamento de
para pontos próximos de
, mas diferentes de
. Em qualquer ponto próximo que não esteja exatamente na reta
a expressão é igual a
. Portanto, ao avaliar o limite, podemos estudar a função simplificada
nas vizinhanças de
(exceto na própria reta onde a função original não está definida). Isto é uma técnica comum: fatorar e simplificar onde possível antes de passar ao cálculo do limite.
Passo 5
Agora use a continuidade da função simplificada. A função
é uma função polinomial (linear) das variáveis
e
. Polinômios e funções lineares são contínuas em todo ponto do plano. A propriedade importante é: se
é contínua em
, então
Como para pontos próximos (mas não sobre
) temos
, o limite de
ao se aproximar de
coincide com o limite de
em
.
Passo 6
Calcule o valor de
em
:
Portanto
Passo 7
Comentário de verificação por caminhos (reassurance): se preferir, dá para verificar tomando caminhos concretos que não fiquem na reta
, por exemplo:
- ao aproximar por
e : a expressão vira e tende para ; - ao aproximar por
e de forma geral (com ), sempre se obtém .
Isso confirma que o limite é independente do caminho (desde que não se ande exatamente sobre a reta onde a função original está indefinida).