Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto A com o maior número de elementos possível de modo que a função abaixo seja injetora. Justifique a sua resposta.
(h) f: f: A R, f(x)=|x-2|

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A matéria que estamos trabalhando aqui é a de funções injetoras. Nosso objetivo é encontrar o conjunto com o maior número possível de elementos, de modo que essa função seja injetora. Ou seja, queremos que cada elemento em seja mapeado para um valor único em pela função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer dois elementos diferentes e em , os valores e também são diferentes. Em outras palavras, não pode haver dois elementos em que sejam mapeados para o mesmo número real.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . A expressão representa o valor absoluto de , que é sempre um número não negativo. Isso significa que para cada valor de , nos dá a distância de até 2 na reta dos números reais.

Passo 4

Vamos procurar entender quando dois valores diferentes de |x1 - 2| = |x2 - 2| podem produzir o mesmo valor de . Suponha que . Então temos:
Isso significa que as distâncias de e até 2 são iguais. Portanto, e podem ser simétricos em relação a 2. Por exemplo, se , então também dá .

Passo 5

Para garantir que a função seja injetora, precisamos evitar que existam tais pares de números simétricos em . Ou seja, em não pode haver dois números que sejam igualmente distantes de 2. Isso significa que para cada número que escolhermos para , não podemos escolher seu “par” simétrico em relação a 2.

Passo 6

Para maximizar o número de elementos em , podemos incluir todos os números de um lado de 2, por exemplo, todos os números menores que 2, ou todos os números maiores que 2, mas não ambos. Cada escolha garante que não haja pares de números que sejam simétricos em relação a 2.

Passo 7

Portanto, o conjunto A = (-infty, 2] ou A = [2, +infty) com o maior número de elementos possível, para que seja injetora, é qualquer subconjunto de que esteja totalmente à esquerda ou totalmente à direita de 2, ou seja:

Resposta

O conjunto com o maior número de elementos possível para que seja injetora é ou .

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