Exercício 2.1 Utilizando as propriedades de limite, calcule:
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} x^{3} y
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} e^{x} y
(c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{y}+y^{2}+2}
(d) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin (x y)}{x y}
(e) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} x^{3} y+y^{3}+3
(f) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin ^{2}(x y)}{(x y)^{2}}
(g) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \ln \left(\left|1+x^{2} y^{3}\right|\right)
(h) \lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,2,6)} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular diversos limites de funções de duas ou três variáveis usando propriedades de limites e continuidade. Vamos usar que somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas, além do limite notável
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)}x^3y
observamos que a função (x,y)\mapsto x^3y é polinomial em x e y, logo contínua. Basta substituir (x,y)=(0,1):
\lim_{(x,y)\to(0,1)}x^3y = 0^3\cdot 1 = 0.

Passo 3

Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)}e^x y
usamos que (x,y)\mapsto e^x e (x,y)\mapsto y são contínuas, então
\lim_{(x,y)\to(0,1)}e^x y = \bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}e^x\bigr)\,\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}y\bigr) = e^0\cdot 1 = 1.

Passo 4

Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^y+y^2+2}
note que para x>0 e y próximo de 0 temos
0 \le x^y \le 1,
então
x^y+y^2+2 \ge 2.
Além disso \lim_{(x,y)\to(0,0)}x\,y=0. Assim, por desigualdade,
\left|\frac{x\,y}{x^y+y^2+2}\right|\le\frac{|x\,y|}{2}\xrightarrow{(x,y)\to(0,0)}0,
logo o limite é 0.

Passo 5

Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}
fazemos a mudança de variável t=xy. Quando (x,y)\to(0,0) temos t\to 0. Usamos o limite notável:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy} = 1.

Passo 6

Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}x^3y + y^3 + 3
a função é soma de monômios contínuos, então basta substituir (1,1):
1^3\cdot 1 + 1^3 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5.

Passo 7

Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin^2(xy)}{(xy)^2}
repare que
\frac{\sin^2(xy)}{(xy)^2} = \Bigl(\frac{\sin(xy)}{xy}\Bigr)^2
e já sabemos que \frac{\sin(xy)}{xy}\to 1. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin^2(xy)}{(xy)^2} = 1^2 = 1.

Passo 8

Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}\ln\bigl(\lvert 1 + x^2y^3\rvert\bigr)
usamos que \ln é contínua no interior do domínio e que 1+x^2y^3 é contínua. Substituindo (1,1):
1 + 1^2\cdot 1^3 = 2,
portanto
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\ln\bigl(\lvert 1 + x^2y^3\rvert\bigr) = \ln(2).

Passo 9

Para \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)}\frac1x + \frac1y + \frac1z
cada termo \frac1x, \frac1y, \frac1z é contínuo onde o denominador é não nulo. Basta substituir:
\frac1{1} + \frac1{2} + \frac1{6} = 1 + \tfrac12 + \tfrac16 = \tfrac{6+3+1}{6} = \tfrac{10}{6} = \tfrac{5}{3}.

Resposta

(a) 0
(b) 1
(c) 0
(d) 1
(e) 5
(f) 1
(g) \ln(2)
(h) \tfrac{5}{3}

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