O enunciado pede para calcular diversos limites de funções de duas ou três variáveis usando propriedades de limites e continuidade. Vamos usar que somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas, além do limite notável
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Passo 2
Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)}x^3y
observamos que a função (x,y)\mapsto x^3y é polinomial em x e y, logo contínua. Basta substituir (x,y)=(0,1):
\lim_{(x,y)\to(0,1)}x^3y = 0^3\cdot 1 = 0.
Passo 3
Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)}e^x y
usamos que (x,y)\mapsto e^x e (x,y)\mapsto y são contínuas, então
\lim_{(x,y)\to(0,1)}e^x y = \bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}e^x\bigr)\,\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}y\bigr) = e^0\cdot 1 = 1.
Passo 4
Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^y+y^2+2}
note que para x>0 e y próximo de 0 temos
0 \le x^y \le 1,
então
x^y+y^2+2 \ge 2.
Além disso \lim_{(x,y)\to(0,0)}x\,y=0. Assim, por desigualdade,
Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}
fazemos a mudança de variável t=xy. Quando (x,y)\to(0,0) temos t\to 0. Usamos o limite notável:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy} = 1.
Passo 6
Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}x^3y + y^3 + 3
a função é soma de monômios contínuos, então basta substituir (1,1):
1^3\cdot 1 + 1^3 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5.
Passo 7
Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin^2(xy)}{(xy)^2}
repare que
Para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)}\ln\bigl(\lvert 1 + x^2y^3\rvert\bigr)
usamos que \ln é contínua no interior do domínio e que 1+x^2y^3 é contínua. Substituindo (1,1):
Para \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)}\frac1x + \frac1y + \frac1z
cada termo \frac1x, \frac1y, \frac1z é contínuo onde o denominador é não nulo. Basta substituir: