Exercício 7. Utilize a integração por substituição para encontrar as seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (uma antiderivada) desta função, ou seja, encontrar uma função
tal que . - Não há outras restrições de domínio no enunciado.
Passo 2
Explicando o método de substituição de forma didática: a ideia é reconhecer parte da integranda que é a derivada de outra parte. Se eu consigo escrever a integral em termos de uma nova variável
, com
aparecendo no integrando, então a integral pode ficar mais simples. A regra básica que vamos usar é:
E a fórmula para potência é
Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Escolha da substituição: note que no integrando temos
e
. A derivada de
é
, ou seja, aparece
(com sinal). Então uma escolha natural é:
Agora calculamos
:
Dessa igualdade isolamos
:
Passo 4
Reescrevendo a integral em
: substituímos
por
e
por
. Também escrevemos
como
. Assim
Passo 5
Integração usando a regra da potência: aplicamos
com
.
Calculamos
Calculamos
Portanto
Passo 6
Voltando para a variável
: substituímos
na expressão obtida:
Também podemos escrever a resposta usando secante:
Passo 7
Verificação rápida (útil em prova): derivamos a primitiva encontrada para checar. Seja
Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.