Exercício 7. Utilize a integração por substituição para encontrar as seguintes:
\int \frac{\operatorname{sen} x d x}{\cos ^{5} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sen} x\, dx}{\cos^{5} x}.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^{5} x}.
  • Queremos uma primitiva (uma antiderivada) desta função, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^{5} x}.
  • Não há outras restrições de domínio no enunciado.

Passo 2

Explicando o método de substituição de forma didática: a ideia é reconhecer parte da integranda que é a derivada de outra parte. Se eu consigo escrever a integral em termos de uma nova variável u, com du aparecendo no integrando, então a integral pode ficar mais simples. A regra básica que vamos usar é:
\text{Se } u=u(x)\text{ então }du=u'(x)\,dx.ã
E a fórmula para potência é
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1.
Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Escolha da substituição: note que no integrando temos \operatorname{sen} x e \cos x. A derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x, ou seja, aparece \operatorname{sen} x (com sinal). Então uma escolha natural é:
u=\cos x.
Agora calculamos du:
du=\frac{d}{dx}(\cos x)\,dx = -\operatorname{sen} x\,dx.
Dessa igualdade isolamos \operatorname{sen} x\,dx:
\operatorname{sen} x\,dx = -\,du.

Passo 4

Reescrevendo a integral em u: substituímos \cos x por u e \operatorname{sen} x\,dx por -du. Também escrevemos \cos^{5}x como u^{5}. Assim
\int \frac{\operatorname{sen} x\,dx}{\cos^{5} x} = \int \frac{-\,du}{u^{5}} = -\int u^{-5}\,du.

Passo 5

Integração usando a regra da potência: aplicamos \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C com n=-5.
Calculamos
\int u^{-5}\,du = \frac{u^{-4}}{-4}.
Portanto
-\int u^{-5}\,du = -\left(\frac{u^{-4}}{-4}\right) = \frac{u^{-4}}{4}.

Passo 6

Voltando para a variável x: substituímos u=\cos x na expressão obtida:
\frac{u^{-4}}{4} = \frac{1}{4}u^{-4} = \frac{1}{4}\cos^{-4} x = \frac{1}{4\cos^{4} x}.
Também podemos escrever a resposta usando secante:
\frac{1}{4\cos^{4} x} = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{4} x.

Passo 7

Verificação rápida (útil em prova): derivamos a primitiva encontrada para checar. Seja
F(x)=\frac{1}{4}\cos^{-4} x.
Usando a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{1}{4}\cdot(-4)\cos^{-5} x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) = -\cos^{-5} x\cdot(-\operatorname{sen} x) =\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{5} x},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4\cos^{4} x}+C

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