Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
\int_{1}^{3}\left(x^{2}-7 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\left(x^{2}-7x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \,x^{2}-7x.
  • O intervalo de integração é de \,x=1 até \,x=3.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades fundamentais que usaremos (aqui eu explico como cada coisa funciona, devagarinho):
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
essa é a propriedade da linearidade da integral: soma vira soma dos integras; e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot\int f(x)\,dx
quando a é constante, ela pode sair da integral. Outra fórmula importante é a regra de potência (a antiderivada de x^n):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad\text{para }n\neq -1,
onde n é o expoente e C é a constante de integração (não precisamos de C para integrais definidas, mas a fórmula é a mesma). Por fim, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Essas são as ferramentas que vamos usar passo a passo.

Passo 3

Aplique a linearidade para separar a integral:
\int_{1}^{3}\left(x^{2}-7x\right)\,dx = \int_{1}^{3} x^{2}\,dx - 7\int_{1}^{3} x\,dx.
Expliquei: separei a soma e puxei o -7 para fora da integral.

Passo 4

Agora calculamos antiderivadas de cada parte usando a regra de potência:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Portanto, uma antiderivada da função inteira \,x^{2}-7x é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7x^{2}}{2}.
Expliquei: peguei a antiderivada de cada termo e mantive o sinal.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avalie F em x=3 e em x=1 e subtraia F(3)-F(1).
Calcule F(3):
F(3)=\frac{3^{3}}{3}-\frac{7\cdot 3^{2}}{2}=\frac{27}{3}-\frac{7\cdot 9}{2}=9-\frac{63}{2}.
Colocando em denominador comum 2:
9-\frac{63}{2}=\frac{18}{2}-\frac{63}{2}=-\frac{45}{2}.
Calcule F(1):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-\frac{7\cdot 1^{2}}{2}=\frac{1}{3}-\frac{7}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{1}{3}-\frac{7}{2}=\frac{2}{6}-\frac{21}{6}=-\frac{19}{6}.

Passo 6

Agora subtraímos:
\int_{1}^{3}\left(x^{2}-7x\right)\,dx = F(3)-F(1) = -\frac{45}{2} -\left(-\frac{19}{6}\right) = -\frac{45}{2} + \frac{19}{6}.
Colocando em denominador comum 6:
-\frac{45}{2} + \frac{19}{6} = -\frac{135}{6} + \frac{19}{6} = -\frac{116}{6}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
-\frac{116}{6} = -\frac{58}{3}.

Resposta

-\frac{58}{3}

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