Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é de
até . - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades fundamentais que usaremos (aqui eu explico como cada coisa funciona, devagarinho):
essa é a propriedade da linearidade da integral: soma vira soma dos integras; e
quando
é constante, ela pode sair da integral. Outra fórmula importante é a regra de potência (a antiderivada de
):
onde
é o expoente e
é a constante de integração (não precisamos de
para integrais definidas, mas a fórmula é a mesma). Por fim, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
é uma antiderivada de
, então
Essas são as ferramentas que vamos usar passo a passo.
Passo 3
Aplique a linearidade para separar a integral:
Expliquei: separei a soma e puxei o
para fora da integral.
Passo 4
Agora calculamos antiderivadas de cada parte usando a regra de potência:
Portanto, uma antiderivada da função inteira
é
Expliquei: peguei a antiderivada de cada termo e mantive o sinal.
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avalie
em
e em
e subtraia
.
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Agora subtraímos:
Colocando em denominador comum
:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
: