Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{2} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{0}^{2} \sqrt{x}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\sqrt{x},\qquad \text{intervalo: }[0,2].

Passo 2

Primeiro passo simples: reescrever a raiz como potência, porque isso facilita o uso das regras de integração. Temos
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{2} x^{1/2}\,dx.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre a regra do poder (fórmula de antiderivada): se \alpha\neq -1, então
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
O que isso diz: para integrar uma potência de x, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente. Aqui C é a constante de integração (útil para integrais indefinidas). Por que isso funciona? Porque se diferirmos \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right)=\frac{\alpha+1}{\alpha+1}x^{\alpha}=x^{\alpha},
então essa função é realmente uma primitiva de x^{\alpha}. A mesma regra vale para expoentes fracionários como \frac{1}{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do poder para \alpha=\tfrac{1}{2}:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Então uma primitiva (antiderivada) de x^{1/2} é F(x)=\tfrac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Para integrar de forma definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a).
Aqui F(x)=\tfrac{2}{3}x^{3/2}, a=0 e b=2.

Passo 6

Calcule F(2) e F(0):
F(2)=\frac{2}{3}\,2^{3/2},\qquad F(0)=\frac{2}{3}\,0^{3/2}=0.
Agora simplificamos 2^{3/2}. Podemos escrever
2^{3/2}=2^{1}\cdot 2^{1/2}=2\sqrt{2}.
Portanto
F(2)=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4}{3}\sqrt{2}.

Passo 7

Subtraindo F(0) de F(2) obtemos o valor da integral:
\int_{0}^{2} \sqrt{x}\,dx=F(2)-F(0)=\frac{4}{3}\sqrt{2}-0=\frac{4}{3}\sqrt{2}.

Passo 8

(Verificação alternativa rápida por substituição, só para ganhar confiança)
fazendo x=u^{2} temos dx=2u\,du e \sqrt{x}=u. Os limites mudam: x=0\Rightarrow u=0, x=2\Rightarrow u=\sqrt{2}. Então
\int_{0}^{2}\sqrt{x}\,dx=\int_{0}^{\sqrt{2}} u\cdot 2u\,du=2\int_{0}^{\sqrt{2}} u^{2}\,du =2\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}}=2\cdot\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{2},
confirma o resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{2}

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