Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral definida
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro passo simples: reescrever a raiz como potência, porque isso facilita o uso das regras de integração. Temos
Portanto a integral fica
Passo 3
Agora uma mini-aula sobre a regra do poder (fórmula de antiderivada): se
, então
O que isso diz: para integrar uma potência de
, aumentamos o expoente em
e dividimos pelo novo expoente. Aqui
é a constante de integração (útil para integrais indefinidas). Por que isso funciona? Porque se diferirmos
obtemos
então essa função é realmente uma primitiva de
. A mesma regra vale para expoentes fracionários como
.
Passo 4
Aplicando a regra do poder para
:
Então uma primitiva (antiderivada) de
é
.
Passo 5
Para integrar de forma definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
, então
Aqui
,
e
.
Passo 6
Calcule
e
:
Agora simplificamos
. Podemos escrever
Portanto
Passo 7
Subtraindo
de
obtemos o valor da integral:
Passo 8
(Verificação alternativa rápida por substituição, só para ganhar confiança)
fazendo temos
e
. Os limites mudam:
,
. Então
fazendo
confirma o resultado.