Exercício 1. (Valor: 4.0)

Os estudantes de um departamento de química desenvolveram um agente aglutinante que auxilia na remoção de impurezas sólidas da água. Um coeficiente de pureza foi obtido para nove regiões de um rio antes e depois da aplicação do agente. Os dados observados foram compilados na tabela abaixo:
Regiāo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Antes 22 23 16 26 33 28 22 31 26
Depois 31 20 21 25 39 30 24 38 25
a) Sabendo que os estudantes realizarāo um teste de hipóteses, qual é o mais adequado: um teste para amostras independentes ou um teste para amostras pareadas?
b) Apresente a hipótese nula e a hipótese alternativa em termos do parâmetro, no contexto do problema.
c) Defina a estatística do teste e indique a sua distribuição. Não é necessário calcular o valor da estatística do teste.
d) Ao realizar o teste, assumindo que todas as suposições são satisfeitas, um estudante obteve um p-valor de 0.034 . Qual conclusão é obtida ao nível de significância de 5 \% ?

Passo 1

O enunciado apresenta os coeficientes de pureza em 9 regiões do rio medidos “antes” e “depois” da aplicação do agente aglutinante. Perguntas pedidas:
a) Que tipo de teste (amostras independentes ou pareadas) é mais adequado?
b) Formular H_0 e H_1 em termos do parâmetro, no contexto.
c) Definir a estatística do teste e indicar sua distribuição (não é necessário calcular a estatística).
d) Dado um p-valor de 0{,}034, qual conclusão ao nível de significância de 5\%?
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccccc} \text{Região} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\hline \text{Antes} & 22 & 23 & 16 & 26 & 33 & 28 & 22 & 31 & 26\\\ \text{Depois} & 31 & 20 & 21 & 25 & 39 & 30 & 24 & 38 & 25 \end{array}ã
Não resolvemos nada ainda — só organizei o que foi pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Por que escolher teste pareado (explicação prática e didática):
  • Cada observação “antes” e “depois” refere-se à mesma região. Isso cria pares dependentes (o valor “depois” está ligado ao valor “antes” da mesma região).
  • Em problemas pareados, comparações são feitas usando as diferenças dentro de cada par. Isso reduz variabilidade causada por diferenças entre regiões e aumenta o poder do teste.
  • Portanto, o teste mais adequado é o teste para amostras pareadas, não o de amostras independentes.

Passo 3

Definindo o parâmetro que vamos testar (explicação pedagógica):
  • Seja D_i a diferença para a região i definida como
D_i = \text{Depois}_i - \text{Antes}_i.
  • O parâmetro de interesse é a média populacional das diferenças, que denotamos por \mu_D. Interpretacão: \mu_D é o aumento médio na medida de pureza causado pelo agente (positivo significa aumento médio).
  • Em termos simples: se \mu_D>0 o agente aumentou a pureza em média; se \mu_D=0 não houve efeito médio; se \mu_D<0 a pureza diminuiu em média.

Passo 4

Escrevendo as hipóteses no contexto (passo obrigatório e claro):
  • Hipótese nula (nenhum efeito médio): H_0:\\ \mu_D = 0.
  • Hipótese alternativa (o agente aumenta a pureza): H_1:\\ \mu_D > 0.
Comentários: escolhi a alternativa unilateral \mu_D>0 porque o enunciado fala em um agente que “auxilia na remoção de impurezas”, logo a expectativa prática é aumento da pureza. Se o enunciado exigisse simplesmente “há diferença”, usaríamos alternativa bilateral.

Passo 5

Definindo a estatística do teste e sua distribuição (fórmula e explicação de cada símbolo):
  • Calcule as diferenças amostrais D_1,\dots,D_n e a média amostral das diferenças \bar{D}:
\bar{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} D_i.
  • Calcule o desvio-padrão amostral das diferenças s_D:
s_D=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(D_i-\bar{D})^2}.
  • A estatística t do teste para a hipótese H_0:\mu_D=0 é
t=\frac{\bar{D}-0}{\,s_D/\sqrt{n}\,}=\frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}}.
Aqui: n é o número de pares ( n=9 neste problema), \bar{D} é a média amostral das diferenças, s_D é o desvio-padrão amostral das diferenças.
  • Distribuição sob H_0: t\sim t_{\,n-1}\qquad\text{(Student com \(n-1\) graus de liberdade).}
  • Suposições necessárias (explique por que elas importam): as diferenças D_i devem ser aproximadamente independentes e aproximadamente normais na população; para n pequeno (aqui 9) a normalidade é importante; se n fosse grande, o Teorema Central do Limite ajudaria.

Passo 6

Ilustração prática (cálculo das diferenças e verificação rápida — isto é didático, embora a questão diga que não é necessário calcular a estatística):
  • Primeiro calculei as diferenças D_i=\text{Depois}_i-\text{Antes}_i usando os dados da tabela (peguei os números da tabela):
D=\{9,\,-3,\,5,\,-1,\,6,\,2,\,2,\,7,\,-1\}.
  • Soma das diferenças:
\sum_{i=1}^9 D_i = 26.
  • Média amostral das diferenças:
\bar{D}=\frac{26}{9}\approx 2{,}889.
  • Soma dos quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^9 D_i^2 =210.
  • Variância amostral das diferenças (fórmula prática):
s_D^2=\frac{\sum D_i^2 - n\bar{D}^2}{n-1} =\frac{210 - 9\left(\dfrac{26}{9}\right)^2}{8} \approx 16{,}861,
portanto
s_D\approx 4{,}105.
  • Estatística t (apenas para verificação didática):
t=\frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}} \approx\frac{2{,}889}{4{,}105/\sqrt{9}} \approx 2{,}11.
Observação: eu calculei isso só para exemplificar; a parte (c) do enunciado pedia apenas a definição da estatística e sua distribuição.

Passo 7

Conectando o t calculado com o p-valor fornecido e interpretando:
  • Para t\approx 2{,}11 com n-1=8 graus de liberdade, o p-valor bilateral seria aproximadamente 0{,}066. O p-valor unilateral (para a alternativa \mu_D>0) é cerca de metade disso, aproximadamente 0{,}033, compatível com o p-valor informado 0{,}034. Isso confirma que o estudante usou uma alternativa unilateral (aumenta).
  • Tomando o p-valor dado 0{,}034 e o nível de significância \alpha=0{,}05:
p\text{-valor}=0{,}034 < \alpha=0{,}05,
logo rejeitamos H_0.

Passo 8

Interpretação final e conclusão prática (linguagem simples e motivadora):
  • Rejeitar H_0 significa que há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a média das diferenças \mu_D é positiva. Em palavras: existe evidência de que o agente aumentou a pureza média da água nas regiões estudadas.
  • Lembrete prático: além do resultado estatístico, sempre verifique a importância prática do efeito (a magnitude média encontrada, aqui \bar{D}\approx 2{,}89, e sua relevância para o problema real) e se as suposições (normalidade das diferenças, pares corretamente formados) são razoáveis.

Resposta

a) Teste para amostras pareadas.
b) H_0:\\ \mu_D=0 e H_1:\\ \mu_D>0, onde \mu_D é a média das diferenças \text{Depois}-\text{Antes}.
c) Estatística
t=\frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}},
com t seguindo a distribuição t_{n-1} (aqui n=9, então t\sim t_8).
d) Como p-valor =0{,}034<0{,}05, rejeita-se H_0; conclui-se que há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que o agente aumentou a pureza média.

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