Exercício 2. (Valor: 3.0)
Um engenheiro de materiais analisou a resistência à tração (em MPa) de um novo tipo de liga metálica, submetida a três diferentes tipos de tratamento térmico: T1, T2 e T3. Ele obteve os seguintes resultados:
Tratamento Resistência (MPa)
T1 350,370,360
T2 400,420,410
T3 370,390,380
a) Complete a tabela da ANOVA abaixo com os quadrados médios e estatística F:
Fonte de variação G.L. SQ
Tratamento 2 3600
Erro 6 360
Total 8 3960
1

Passo 1

O enunciado fornece as medições da resistência (em MPa) para três tratamentos e uma tabela parcial de ANOVA que já tem os somatórios dos quadrados (SQ) e os graus de liberdade (G.L.). Precisamos completar a tabela com os quadrados médios (QM) e a estatística F.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado):
\begin{array}{l} \text{T1: }350,\;370,\;360\\\ \text{T2: }400,\;420,\;410\\\ \text{T3: }370,\;390,\;380 \end{array}
Tabela parcial dada (peguei esses valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Fonte de variação} & \text{G.L.} & \text{SQ} \\\ \hline \text{Tratamento} & 2 & 3600 \\\ \hline \text{Erro} & 6 & 360 \\\ \hline \text{Total} & 8 & 3960 \\\ \hline \end{array}
O que nos pedem: calcular os quadrados médios (QM) para Tratamento e Erro e a estatística F. A resolução começa agora.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vamos usar — passo a passo e devagar, como você pediu.
  • Definições e fórmulas:
    • O quadrado médio (QM) é a razão entre somatório dos quadrados (SQ) e seus graus de liberdade (G.L.). Ou seja, para qualquer fonte: QM = \frac{SQ}{\text{G.L.}}Aqui teremos QM_{\text{trat}} e QM_{\text{erro}}.
    • A estatística F (para testar se há efeito de tratamento) é a razão entre o quadrado médio do tratamento e o quadrado médio do erro: F = \frac{QM_{\text{trat}}}{QM_{\text{erro}}}.
  • O que significam as variáveis:
    • SQ é a soma dos quadrados correspondente (já está na tabela).
    • \text{G.L.} é o grau de liberdade correspondente (já está na tabela).
    • QM é a variância estimada para aquela fonte.
    • F compara variabilidade entre tratamentos com variabilidade dentro dos grupos (erro).
Agora aplicamos essas fórmulas usando os SQ e \text{G.L.} que estão na tabela dada.

Passo 3

Antes de aplicar diretamente as fórmulas, eu faço uma verificação didática (útil na prova): calcular médias dos grupos e a média geral a partir dos dados brutos — isso serve para, se fosse preciso, calcular os SQ a partir dos dados. Vou mostrar isso rápido para você entender como se obtém os SQ na prática.
  • Somatórios por tratamento (peguei os dados do enunciado): \begin{aligned} T_1 &= 350+370+360 = 1080,\\\ T_2 &= 400+420+410 = 1230,\\\ T_3 &= 370+390+380 = 1140. \end{aligned}
  • Médias por tratamento: \begin{aligned} \bar{x}_1 &= \frac{1080}{3} = 360,\\\ \bar{x}_2 &= \frac{1230}{3} = 410,\\\ \bar{x}_3 &= \frac{1140}{3} = 380. \end{aligned}
  • Soma total e média geral: \text{Total} = 1080+1230+1140 = 3450,\qquad \bar{x}_{\text{geral}}=\frac{3450}{9}=\frac{1150}{3}\approx 383{,}3.
Com essas médias, a fórmula prática para SQ_{\text{trat}} é
SQ_{\text{trat}}=\sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{\text{geral}})^2,
e para SQ_{\text{erro}} é
SQ_{\text{erro}}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2.
Se você calcular esses SQ a partir dos dados acima (faço a conta para você), obtém-se
SQ_{\text{trat}}=3800,\qquad SQ_{\text{erro}}=600,\qquad SQ_{\text{total}}=4400.
Ou seja, calculando a partir dos dados brutos eu encontro SQ_{\text{trat}}=3800 e SQ_{\text{erro}}=600, que somam 4400. Note que esses valores NÃO batem com os SQ que foram dados na tabela do enunciado ( 3600 e 360 somando 3960). Isso indica uma discrepância (provavelmente um erro de digitação no enunciado) — eu já verifiquei as contas mostrando como se obtém SQ a partir dos dados brutos.

Passo 4

Decisão prática (importante para a prova): a tabela parcial apresentada no enunciado está internamente consistente (tem SQ_{\text{trat}}+SQ_{\text{erro}}=SQ_{\text{total}}), portanto quando a questão pede “complete a tabela abaixo” o procedimento padrão é usar os SQ que o enunciado já forneceu (mesmo que os dados brutos, se usados para recalcular, deem outros SQ). Ou seja, vou completar a tabela usando os SQ dados na própria tabela: SQ_{\text{trat}}=3600 e SQ_{\text{erro}}=360.
Agora aplico a fórmula do QM:
  • Para Tratamento: QM_{\text{trat}}=\frac{SQ_{\text{trat}}}{\text{G.L.}_{\text{trat}}}=\frac{3600}{2}=1800.
  • Para Erro: QM_{\text{erro}}=\frac{SQ_{\text{erro}}}{\text{G.L.}_{\text{erro}}}=\frac{360}{6}=60.

Passo 5

Agora calculo a estatística F usando os quadrados médios obtidos:
F=\frac{QM_{\text{trat}}}{QM_{\text{erro}}}=\frac{1800}{60}=30.
Interpretação curta (para você entender na hora da prova): F=30 é um valor grande, o que sugere que a variabilidade entre médias de tratamento é muito maior do que a variabilidade dentro dos tratamentos — ou seja, é evidência de que há diferença entre tratamentos. Na prova, para concluir se é estatisticamente significativo, você compararia esse F com o valor crítico de F na tabela de F para \text{G.L.}_1=2 e \text{G.L.}_2=6 ao nível de significância desejado.

Resposta

Tratamento: QM_{\text{trat}}=1800
Erro: QM_{\text{erro}}=60
Estatística F=30

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