Exercício 2. (Valor: 3.0)
Um engenheiro de materiais analisou a resistência à tração (em MPa) de um novo tipo de liga metálica, submetida a três diferentes tipos de tratamento térmico: T1, T2 e T3. Ele obteve os seguintes resultados:
Tratamento
Resistência (MPa)
T1
T2
T3
a) Complete a tabela da ANOVA abaixo com os quadrados médios e estatística F:
Fonte de variação
G.L.
SQ
Tratamento
2
3600
Erro
6
360
Total
8
3960
1
Um engenheiro de materiais analisou a resistência à tração (em MPa) de um novo tipo de liga metálica, submetida a três diferentes tipos de tratamento térmico: T1, T2 e T3. Ele obteve os seguintes resultados:
| Tratamento | Resistência (MPa) |
| T1 |
|
| T2 |
|
| T3 |
|
| Fonte de variação | G.L. | SQ |
| Tratamento | 2 | 3600 |
| Erro | 6 | 360 |
| Total | 8 | 3960 |
| 1 | ||
Passo 1
O enunciado fornece as medições da resistência (em MPa) para três tratamentos e uma tabela parcial de ANOVA que já tem os somatórios dos quadrados (SQ) e os graus de liberdade (G.L.). Precisamos completar a tabela com os quadrados médios (QM) e a estatística
.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado):
Tabela parcial dada (peguei esses valores da tabela do enunciado):
O que nos pedem: calcular os quadrados médios (QM) para Tratamento e Erro e a estatística
. A resolução começa agora.
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vamos usar — passo a passo e devagar, como você pediu.
- Definições e fórmulas:
- O quadrado médio (QM) é a razão entre somatório dos quadrados (SQ) e seus graus de liberdade (G.L.). Ou seja, para qualquer fonte:
Aqui teremos e . - A estatística
(para testar se há efeito de tratamento) é a razão entre o quadrado médio do tratamento e o quadrado médio do erro:
- O quadrado médio (QM) é a razão entre somatório dos quadrados (SQ) e seus graus de liberdade (G.L.). Ou seja, para qualquer fonte:
- O que significam as variáveis:
-
é a soma dos quadrados correspondente (já está na tabela). -
é o grau de liberdade correspondente (já está na tabela). -
é a variância estimada para aquela fonte. -
compara variabilidade entre tratamentos com variabilidade dentro dos grupos (erro).
-
Agora aplicamos essas fórmulas usando os
e
que estão na tabela dada.
Passo 3
Antes de aplicar diretamente as fórmulas, eu faço uma verificação didática (útil na prova): calcular médias dos grupos e a média geral a partir dos dados brutos — isso serve para, se fosse preciso, calcular os
a partir dos dados. Vou mostrar isso rápido para você entender como se obtém os
na prática.
- Somatórios por tratamento (peguei os dados do enunciado):
- Médias por tratamento:
- Soma total e média geral:
Com essas médias, a fórmula prática para
é
e para
é
Se você calcular esses
a partir dos dados acima (faço a conta para você), obtém-se
Ou seja, calculando a partir dos dados brutos eu encontro
e
, que somam
. Note que esses valores NÃO batem com os
que foram dados na tabela do enunciado (
e
somando
). Isso indica uma discrepância (provavelmente um erro de digitação no enunciado) — eu já verifiquei as contas mostrando como se obtém
a partir dos dados brutos.
Passo 4
Decisão prática (importante para a prova): a tabela parcial apresentada no enunciado está internamente consistente (tem
), portanto quando a questão pede “complete a tabela abaixo” o procedimento padrão é usar os
que o enunciado já forneceu (mesmo que os dados brutos, se usados para recalcular, deem outros
). Ou seja, vou completar a tabela usando os
dados na própria tabela:
e
.
Agora aplico a fórmula do
:
- Para Tratamento:
- Para Erro:
Passo 5
Agora calculo a estatística
usando os quadrados médios obtidos:
Interpretação curta (para você entender na hora da prova):
é um valor grande, o que sugere que a variabilidade entre médias de tratamento é muito maior do que a variabilidade dentro dos tratamentos — ou seja, é evidência de que há diferença entre tratamentos. Na prova, para concluir se é estatisticamente significativo, você compararia esse
com o valor crítico de
na tabela de
para
e
ao nível de significância desejado.
Resposta
Tratamento:
Erro:
Estatística
Erro:
Estatística