Uma função amostra é uma realização de um processo estocástico e portanto aleatória.
Escolha uma opção:
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado afirma: “Uma função amostra é uma realização de um processo estocástico e portanto aleatória.”
Informações dadas: a frase liga três ideias — (i) “função amostra”, (ii) “realização (ou realização do processo estocástico)” e (iii) “portanto aleatória”. A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Definição clara de processo estocástico: um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias indexadas por um parâmetro de tempo t. Formalmente, escrevemos
X=\{X(t)\}_{t\in T}\quad\text{onde}\quad X(t)=X(t,\omega)
cada X(t) é uma variável aleatória definida num espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Aqui \omega\in\Omega representa o resultado aleatório (o “mundo” que aconteceu). Até aqui, cada X(t) é aleatória porque depende de \omega.

Passo 3

O que é uma função amostra (sample function / sample path): para um resultado fixo \omega escolhemos esse \omega e então olhamos a função de t
t \mapsto X(t,\omega).
Essa função de t — escrita por exemplo x_\omega(t)=X(t,\omega) — chama-se função amostra ou trajetória. Ela mostra, para aquele \omega específico, quais foram os valores do processo em todos os tempos.

Passo 4

Entendendo determinismo vs. aleatoriedade: uma vez que se fixa \omega, a função t\mapsto X(t,\omega) é uma função determinística de t. Ou seja, para aquele \omega já escolhido não há mais incerteza: se eu der o mesmo \omega vou obter a mesma função. Exemplo simples para solidificar a ideia: considere um processo discreto de lançamentos de moeda \{X_n\}_{n\ge1} com X_n(\omega)\in\{0,1\}. Um \omega corresponde a uma sequência concreta de resultados, por exemplo \omega=(1,0,1,1,0,\dots). A função amostra associada a esse \omega é exatamente a sequência (1,0,1,1,0,\dots) — uma sequência determinística após escolher \omega.

Passo 5

Onde está a sutilidade: é verdade que a função amostra é uma realização do processo (isto é, x_\omega(t)=X(t,\omega) é uma realização). Mas chamar a função amostra de “portanto aleatória” sem cuidadosa distinção perde precisão. Antes de fixar \omega, a função amostra como objeto dependente de \omega é um objeto aleatório (há uma variável aleatória que toma valores em um espaço de funções). Porém, a expressão usual “função amostra” refere-se à trajetória correspondente a um \omega fixo — e essa trajetória, nesse sentido, não é aleatória: é uma função determinística de t.

Passo 6

Conclusão pedagógica e resposta: a afirmação, do jeito que está escrita, sugere que a função amostra (a realização já escolhida) é aleatória. Isso é impreciso: a função amostra é uma realização do processo e, uma vez realizada (quando \omega está fixo), deixa de ser aleatória. Portanto a afirmação é falsa — a terminologia correta é distinguir entre (a) o mapeamento aleatório \omega\mapsto x_\omega(\cdot) e (b) a função amostra x_\omega(\cdot) obtida para um \omega fixo, que é determinística.

Resposta

Falso

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