Exercício
velocidade máxima com que uma pessoa
consegue correr é
. A quer pegar um trem que está parado na estação prestes a partir. Sabendo que está em cima da hora, começa a correr, atinge sua velocidade máxima e a mantém constante. Nestas condições, e no instante que será designado como
, o trem parte com aceleração constante
, afastando-se de A que está a uma distância de
atrás da última porta do trem, mantendo sua velocidade constante.
a. Conseguirá A alcançar a porta? Justifique sua resposta.
b. Qual é a distância máxima que pode haver entre
e a última porta do trem para que este seja alcançado?
c. Escolhendo para a origem do sistema de coordenadas a posição de
em
(instante que o trem parte), faça, sobrepondo no mesmo gráfico, um esboço da equação horária de
e do trem para
e
. Comente os ítens a. e b. com base neste gráfico.
a. Conseguirá A alcançar a porta? Justifique sua resposta.
b. Qual é a distância máxima que pode haver entre
c. Escolhendo para a origem do sistema de coordenadas a posição de
Passo 1
O que o enunciado dá (peguei estes dados do enunciado):
- A velocidade máxima (constante, mantida por A) é
. - O trem parte em
com aceleração constante e velocidade inicial nula. - No instante
a posição de está a uma distância atrás da última porta do trem (isto é, o último vagão do trem está à frente de A, a metros).
O enunciado pede:
a. Verificar se, para, alcança a última porta do trem.
b. Determinar qual é a distância máximapara a qual consegue alcançar a porta (em função dos dados fornecidos).
c. Tomando a origem do eixona posição de em , esboçar (no mesmo gráfico) as equações horárias de e do trem para , e , e comentar (com base no gráfico) os itens (a) e (b).
Passo 2
Escolha de coordenadas e equações do movimento (passo padrão em problemas mais simples de cinemática): tomar origem em
igual à posição de
em
(conforme pedido no item (c)). Escreve-se a equação horária de cada corpo:
- Pessoa
: movimento retilíneo uniforme com velocidade constante . A posição de em função do tempo é
Aqui
é a posição de
em metros no instante
em segundos, e
é em
.
- Última porta do trem: parte em repouso com aceleração constante
e posição inicial à frente de por . A equação do movimento uniformemente acelerado, com velocidade inicial , é
Aqui
é a posição da porta em metros no instante
.
Passo 3
Condição de encontro (quando
alcança a porta): igualar as posições para encontrar instantes possíveis de encontro:
Reorganizando em forma de equação quadrática (multiplicando por 2 para simplificar):
Esta é uma equação quadrática em
do tipo
. Para resolver usamos a fórmula das raízes:
Aqui
,
e
. O discriminante é
Como
, as raízes ficam
Interpretação física do discriminante:
- Se
então e não existem raízes reais: não há instante em que — ou seja, não alcança a porta. - Se
existe uma raiz real dupla: encontro tangencial (chegam à mesma posição exatamente quando o trem atinge a mesma velocidade de ). - Se
existem duas raízes reais positivas; o encontro físico é o menor tempo positivo (a primeira vez em que se encontram).
Passo 4
Aplicando os números dados para responder (a) — caso
:
Calcular com
e
:
Calcular
Como isso é negativo, o discriminante é negativo e não há solução real para
. Conclusão: para
,
não alcança a porta do trem. (Física intuitiva: o trem acelera o suficiente para, apesar da velocidade inicial mais alta de A, cada vez aumentar a vantagem espacial.)
Passo 5
Resolver o item (b): distância máxima
que permite encontro. A condição limite é o discriminante ser zero:
Substituindo
e
:
Interpretação: se
haverá encontro (em dois instantes matematicamente, sendo o menor o encontro real), se
têm encontro tangencial (um único instante), e se
não há encontro.
Passo 6
Cálculo explícito dos tempos de encontro para os valores pedidos no item (c) (usar a fórmula das raízes e pegar a primeira raiz positiva, ou a raiz dupla no caso limite):
A fórmula geral dá os dois tempos
A fórmula geral dá os dois tempos
- Para
:
(este é o primeiro encontro; a outra raiz é
, mas o primeiro é o encontro físico desejado).
Posição do encontro:
Posição do encontro:
- Para
(caso limite):
Posição do encontro:
- Para
já vimos que não há solução real: nenhum satisfaz .
Passo 7
Esboço qualitativo das curvas (descrição do que se desenha no mesmo gráfico - origem em
posição de
em
):
- Curva de
: reta passando por com declive (inclinação) . Equação: . - Curvas do trem para cada
: parábola começando em e curvando para cima (concavidade positiva, pois com ). - Para
: a parábola começa em e cruza a reta de em no ponto . - Para
: a parábola começa em e toca a reta de tangencialmente em no ponto (encontro único, as velocidades ficam iguais nesse instante: igual a ). - Para
: a parábola começa em e fica sempre acima da reta de ; não há interseção.
Comentário visual sobre (a) e (b): no gráfico vê-se que, quanto maior, mais acima começa a parábola do trem; existe um valor crítico ( ) em que a parábola encosta na reta; para ela fica sempre acima e não há interseção. Portanto o resultado do item (a) (para ) é que não alcança; o resultado do item (b) é , que corresponde ao caso em que a parábola é tangente à reta.
- Para
Passo 8
Dicas rápidas de “como fazer isso na prova” (passo-a-passo que garante acerto):
- Escolha a origem (aqui escolheram
em no instante ). Escreva as equações horárias: reta para movimento uniforme e para o movimento acelerado que parte em repouso. - Igualar
e reorganizar numa quadrática. - Calcule o discriminante
: ele decide se há encontro. Interprete: discriminante negativo → não alcança; zero → toca tangencialmente; positivo → alcança (pegar a menor raiz positiva). - Calcule
impondo discriminante nulo para achar a fronteira entre alcançar e não alcançar.
Estas quatro etapas bastam para resolver problemas desse tipo rapidamente em prova — você só precisa de atenção ao sinal do discriminante e escolher a raiz física (menor tempo positivo).
Resposta
(a) Não, para
não alcança a porta do trem.
(b) .
(c) No gráfico com origem em na posição de
:
(b)
(c) No gráfico com origem em
- Para
: as curvas se intersectam em no ponto . - Para
: as curvas são tangentes em no ponto (caso limite). - Para
: não há interseção (o trem permanece à frente).