Exercício 1 A velocidade máxima com que uma pessoa A consegue correr é 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A quer pegar um trem que está parado na estação prestes a partir. Sabendo que está em cima da hora, começa a correr, atinge sua velocidade máxima e a mantém constante. Nestas condições, e no instante que será designado como t=0, o trem parte com aceleração constante 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, afastando-se de A que está a uma distância de d=40 m atrás da última porta do trem, mantendo sua velocidade constante.
a. Conseguirá A alcançar a porta? Justifique sua resposta.
b. Qual é a distância máxima que pode haver entre A e a última porta do trem para que este seja alcançado?
c. Escolhendo para a origem do sistema de coordenadas a posição de A em t=0 (instante que o trem parte), faça, sobrepondo no mesmo gráfico, um esboço da equação horária de A e do trem para d=40 m, d=32 m e d=24 m. Comente os ítens a. e b. com base neste gráfico.

Passo 1

O que o enunciado dá (peguei estes dados do enunciado):
  • A velocidade máxima (constante, mantida por A) é \,v_A=8\\ \mathrm{m/s}.
  • O trem parte em t=0 com aceleração constante \,a=1\\ \mathrm{m/s^2} e velocidade inicial nula.
  • No instante t=0 a posição de A está a uma distância \,d=40\\ \mathrm{m} atrás da última porta do trem (isto é, o último vagão do trem está à frente de A, a d metros).
    O enunciado pede:
    a. Verificar se, para \,d=40\\ \mathrm{m}, A alcança a última porta do trem.
    b. Determinar qual é a distância máxima \,d_{\max} para a qual A consegue alcançar a porta (em função dos dados fornecidos).
    c. Tomando a origem do eixo x na posição de A em t=0, esboçar (no mesmo gráfico) as equações horárias de A e do trem para \,d=40\\ \mathrm{m}, \,d=32\\ \mathrm{m} e \,d=24\\ \mathrm{m}, e comentar (com base no gráfico) os itens (a) e (b).

Passo 2

Escolha de coordenadas e equações do movimento (passo padrão em problemas mais simples de cinemática): tomar origem em x=0 igual à posição de A em t=0 (conforme pedido no item (c)). Escreve-se a equação horária de cada corpo:
  • Pessoa A: movimento retilíneo uniforme com velocidade constante v_A. A posição de A em função do tempo é
x_A(t)=0 + v_A\,t.
Aqui x_A(t) é a posição de A em metros no instante t em segundos, e v_A é em \mathrm{m/s}.
  • Última porta do trem: parte em repouso com aceleração constante a e posição inicial à frente de A por d. A equação do movimento uniformemente acelerado, com velocidade inicial 0, é
x_T(t)=d + \tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui x_T(t) é a posição da porta em metros no instante t.

Passo 3

Condição de encontro (quando A alcança a porta): igualar as posições para encontrar instantes possíveis de encontro:
x_A(t)=x_T(t)\quad\Longrightarrow\quad v_A t = d + \tfrac{1}{2} a t^2.
Reorganizando em forma de equação quadrática (multiplicando por 2 para simplificar):
a t^2 - 2 v_A t + 2 d = 0.
Esta é uma equação quadrática em t do tipo A t^2 + B t + C =0. Para resolver usamos a fórmula das raízes:
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.
Aqui A=a, B=-2v_A e C=2d. O discriminante é
\Delta = B^2-4AC = ( -2 v_A)^2 - 4 a (2 d) = 4 v_A^2 - 8 a d = 4\bigl(v_A^2 - 2 a d\bigr).
Como \sqrt{\Delta}=2\sqrt{v_A^2-2 a d}, as raízes ficam
t=\frac{2v_A\pm 2\sqrt{v_A^2-2 a d}}{2a}=\frac{v_A\pm\sqrt{v_A^2-2 a d}}{a}.
Interpretação física do discriminante:
  • Se v_A^2-2 a d<0 então \Delta<0 e não existem raízes reais: não há instante em que x_A=x_T — ou seja, A não alcança a porta.
  • Se v_A^2-2 a d=0 existe uma raiz real dupla: encontro tangencial (chegam à mesma posição exatamente quando o trem atinge a mesma velocidade de A).
  • Se v_A^2-2 a d>0 existem duas raízes reais positivas; o encontro físico é o menor tempo positivo (a primeira vez em que se encontram).

Passo 4

Aplicando os números dados para responder (a) — caso \,d=40\\ \mathrm{m}:
Calcular v_A^2-2 a d com v_A=8\\ \mathrm{m/s} e a=1\\ \mathrm{m/s^2}:
v_A^2-2 a d = 8^2 - 2\cdot 1 \cdot 40 = 64 - 80 = -16 <0.
Como isso é negativo, o discriminante é negativo e não há solução real para x_A(t)=x_T(t). Conclusão: para \,d=40\\ \mathrm{m}, A não alcança a porta do trem. (Física intuitiva: o trem acelera o suficiente para, apesar da velocidade inicial mais alta de A, cada vez aumentar a vantagem espacial.)

Passo 5

Resolver o item (b): distância máxima \,d_{\max} que permite encontro. A condição limite é o discriminante ser zero:
v_A^2-2 a d_{\max}=0 \quad\Longrightarrow\quad d_{\max}=\frac{v_A^2}{2a}.
Substituindo v_A=8 e a=1:
d_{\max}=\frac{8^2}{2\cdot1}=\frac{64}{2}=32\\ \mathrm{m}.
Interpretação: se d<32\\ \mathrm{m} haverá encontro (em dois instantes matematicamente, sendo o menor o encontro real), se d=32\\ \mathrm{m} têm encontro tangencial (um único instante), e se d>32\\ \mathrm{m} não há encontro.

Passo 6

Cálculo explícito dos tempos de encontro para os valores pedidos no item (c) (usar a fórmula das raízes e pegar a primeira raiz positiva, ou a raiz dupla no caso limite):
A fórmula geral dá os dois tempos
t_{1,2}=\frac{v_A\pm\sqrt{v_A^2-2 a d}}{a}.
  • Para d=24\\ \mathrm{m}:
v_A^2-2 a d=64-2\cdot24=64-48=16,
t_c=\frac{8-\sqrt{16}}{1}=8-4=4\\ \mathrm{s}
(este é o primeiro encontro; a outra raiz é 8+4=12\\ \mathrm{s}, mas o primeiro é o encontro físico desejado).
Posição do encontro:
x_A(4)=8\cdot4=32\\ \mathrm{m}.
  • Para d=32\\ \mathrm{m} (caso limite):
v_A^2-2 a d=64-64=0,
t_c=\frac{8}{1}=8\\ \mathrm{s}\quad(\text{raiz dupla}).
Posição do encontro:
x_A(8)=8\cdot8=64\\ \mathrm{m}.
  • Para d=40\\ \mathrm{m} já vimos que não há solução real: nenhum t\ge0 satisfaz x_A(t)=x_T(t).

Passo 7

Esboço qualitativo das curvas (descrição do que se desenha no mesmo gráfico - origem em x=0 posição de A em t=0):
  • Curva de A: reta passando por (0,0) com declive (inclinação) v_A=8. Equação: x_A(t)=8t.
  • Curvas do trem para cada d: parábola começando em x_T(0)=d e curvando para cima (concavidade positiva, pois +\tfrac12 a t^2 com a=1).
    • Para d=24: a parábola começa em 24 e cruza a reta de A em t=4 no ponto (4,32).
    • Para d=32: a parábola começa em 32 e toca a reta de A tangencialmente em t=8 no ponto (8,64) (encontro único, as velocidades ficam iguais nesse instante: v_T=a t=8 igual a v_A).
    • Para d=40: a parábola começa em 40 e fica sempre acima da reta de A; não há interseção.
      Comentário visual sobre (a) e (b): no gráfico vê-se que, quanto maior d, mais acima começa a parábola do trem; existe um valor crítico ( d=32) em que a parábola encosta na reta; para d>32 ela fica sempre acima e não há interseção. Portanto o resultado do item (a) (para d=40) é que A não alcança; o resultado do item (b) é d_{\max}=32\\ \mathrm{m}, que corresponde ao caso em que a parábola é tangente à reta.

Passo 8

Dicas rápidas de “como fazer isso na prova” (passo-a-passo que garante acerto):
  1. Escolha a origem (aqui escolheram x=0 em A no instante t=0). Escreva as equações horárias: reta para movimento uniforme e d+\tfrac12 a t^2 para o movimento acelerado que parte em repouso.
  2. Igualar x_A(t)=x_T(t) e reorganizar numa quadrática.
  3. Calcule o discriminante v_A^2-2 a d: ele decide se há encontro. Interprete: discriminante negativo → não alcança; zero → toca tangencialmente; positivo → alcança (pegar a menor raiz positiva).
  4. Calcule d_{\max} impondo discriminante nulo para achar a fronteira entre alcançar e não alcançar.
    Estas quatro etapas bastam para resolver problemas desse tipo rapidamente em prova — você só precisa de atenção ao sinal do discriminante e escolher a raiz física (menor tempo positivo).

Resposta

(a) Não, para d=40\\ \mathrm{m} A não alcança a porta do trem.
(b) d_{\max}=\dfrac{v_A^2}{2a}=32\\ \mathrm{m}.
(c) No gráfico com origem em x(0) na posição de A:
  • Para d=24\\ \mathrm{m}: as curvas se intersectam em t=4\\ \mathrm{s} no ponto x=32\\ \mathrm{m}.
  • Para d=32\\ \mathrm{m}: as curvas são tangentes em t=8\\ \mathrm{s} no ponto x=64\\ \mathrm{m} (caso limite).
  • Para d=40\\ \mathrm{m}: não há interseção (o trem permanece à frente).

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