Mostre qual é a condição necessária e suficiente para que o momento total de um sistema de duas partículas se conserve.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar (mostrar) a condição necessária e suficiente para que o momento linear total de um sistema de duas partículas seja conservado.
Informações e definições que vamos usar (todas dadas implicitamente pelo enunciado):
- Existem duas partículas com massas
e . - As posições, velocidades e acelerações são
e . - Cada partícula sofre forças que podem ser separadas em forças externas e força interna (devida à outra partícula). Vou denotar:
-
e as forças externas sobre as partículas 1 e 2; -
como a força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2; -
como a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1.
-
- Definição do momento linear total do sistema:
Passo 2
Lembrando (aula rápida) da relação fundamental entre força e variação do momento: para cada partícula vale a segunda lei de Newton na forma diferencial. Para a partícula
:
onde
é a soma das forças internas sobre a partícula
(no nosso caso de duas partículas, essa soma é apenas a força que vem da outra partícula). Em notação específica:
Explicando:
é a força que a partícula 2 aplica sobre a 1;
é a força que a 1 aplica sobre a 2.
Passo 3
Vamos calcular o derivado temporal do momento total
. Como
, diferenciando em relação ao tempo:
Substituindo as expressões de
da segunda lei:
Reagrupando:
Passo 4
Agora examinar o termo das forças internas
. Em mecânica clássica, pela terceira lei de Newton (lei da ação e reação), as forças internas entre duas partículas são iguais em módulo e opostas em direção, ou seja:
Isso implica imediatamente que
Substituindo isso na expressão anterior obtemos a relação importante
onde
é o resultado vetorial das forças externas agindo sobre o sistema.
Passo 5
Interpretação lógica (o “se e somente se”). A expressão
dá uma equivalência direta entre a variação do momento total e a soma das forças externas. Isso significa matematicamente que:
- Se
, então , ou seja, é constante no tempo (momento conservado). (Implicação suficiente.) - Reciprocamente, se o momento total é conservado então
e, por igualdade acima, . (Implicação necessária.)
Portanto, sob a hipótese de que as forças internas satisfazem, temos equivalência (necessária e suficiente) entre conservação do momento total e nulidade da força externa resultante.
Passo 6
Comentário prático / intuição: a condição diz que nada de “fora” do sistema está empurrando no total. As forças internas só trocam momento entre as partículas mas não alteram o total (porque se anulam por pares). Então para que o total não mude é preciso (e basta) que não haja força externa resultante — mesmo que haja forças externas individuais, o importante é o somatório vetorial ser zero.
Passo 7
Conexão útil com o centro de massa (ajuda a visualizar): definindo a posição do centro de massa
e a massa total
,
é fácil mostrar (pela mesma derivação) que
Logo,
implica
e portanto
é constante — outra forma de dizer que o momento total
é conservado.
Passo 8
Exemplo rápido e motivador: dois patinadores no gelo (sistema isolado) empurram um ao outro. Há forças internas entre eles que trocam momento entre as massas, mas como não há força externa resultante (supondo atrito desprezível), a soma dos momentos antes e depois do empurrão é a mesma — total conservado. Isso ilustra a condição que acabamos de provar.