4.6 Uma bala de fuzil de massa igual a 20 g atinge uma árvore com a velocidade de 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, penetrando nela a uma profundidade de 10 cm . Calcule a força média (em N e em kgf) exercida sobre a bala durante a penetração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a força média exercida sobre a bala durante a penetração, expressa em newtons e em kilograma-força. Os dados fornecidos são:
  • massa da bala: m=20\\ \mathrm{g}.
  • velocidade inicial da bala ao atingir a árvore: v=500\\ \mathrm{m/s}.
  • profundidade de penetração (deslocamento até parar): s=10\\ \mathrm{cm}.
Vou usar esses números para obter a força média que desacelera a bala até parar.

Passo 2

Qual ideia física vamos usar? Vou usar o Teorema Trabalho-Energia (muito útil em provas): o trabalho total realizado sobre um corpo é igual à variação da sua energia cinética. Aqui a bala perde toda a sua energia cinética inicial enquanto penetra até parar, e essa energia é dissipada pelo trabalho da força média de resistência da madeira.
Explicando a fórmula:
W = \Delta K
onde W é o trabalho (no caso provocado pela força média), e \Delta K é a variação da energia cinética do corpo. Se a força média F_{\text{m}} atua ao longo de um deslocamento s contrária ao movimento, o módulo do trabalho é
|W| = F_{\text{m}} \, s.
A energia cinética inicial da bala é
K_i = \tfrac{1}{2} m v^2.
Como a bala para, a energia cinética final é K_f=0 e a variação é \Delta K = K_f - K_i = -K_i. Tomando módulos (força média em módulo),
F_{\text{m}} = \frac{K_i}{s} = \frac{\tfrac{1}{2} m v^2}{s}.
Aqui cada símbolo significa:
  • m: massa da bala (em kg),
  • v: velocidade inicial (em \mathrm{m/s}),
  • s: deslocamento até parar (em m),
  • F_{\text{m}}: módulo da força média (em N).

Passo 3

Primeiro converto as unidades para o SI:
m = 20\\ \mathrm{g} = 0{,}020\\ \mathrm{kg}, \qquad s = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculo a energia cinética inicial:
K_i = \tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}020\cdot (500)^2.
Faço as contas passo a passo:
(500)^2 = 250\,000,
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}020 = 0{,}010,
K_i = 0{,}010\cdot 250\,000 = 2\,500\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora obtenho a força média usando F_{\text{m}} = K_i / s:
F_{\text{m}} = \frac{2\,500}{0{,}10} = 25\,000\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: é a força média necessária para dissipar 2{,}5 kJ em 0{,}1 m.

Passo 6

Converter para kilograma-força (kgf). Definição prática: 1\\ \mathrm{kgf} é a força peso de 1\\ \mathrm{kg} na superfície da Terra, com 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}. Então
F_{\text{m(kgf)}} = \frac{F_{\text{m}}}{9{,}80665} = \frac{25\,000}{9{,}80665}\approx 2\,549{,}3\\ \mathrm{kgf}.
Para apresentação em notação aproximada e conveniente uso três algarismos significativos:
F_{\text{m}}\approx 2{,}5\times 10^{4}\\ \mathrm{N}, \qquad F_{\text{m}}\approx 2{,}55\times 10^{3}\\ \mathrm{kgf}.

Passo 7

(check rápido — método alternativo por cinemática)
Se assumíssemos desaceleração constante a, da equação v^2 = v_0^2 + 2 a s com v=0 obteríamos a = -\dfrac{v^2}{2s}. Substituindo dá a = -\dfrac{(500)^2}{2\cdot 0{,}10} = -1{,}25\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s^2}. Então F=ma = 0{,}020\cdot 1{,}25\times 10^{5}=25\,000\\ \mathrm{N}, same resultado — boa checagem.

Resposta

2{,}5\times 10^{4}\\ \mathrm{N}
2{,}55\times 10^{3}\\ \mathrm{kgf}

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