• Exercicio: Um ventilador centrifugo movimenta 120 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de gás com massa especifica igual a 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, aspirando de uma câmara à pressão de 1080 Pa e insuflando em outra à pressão de 2160 Pa , com uma velocidade de insuflagio de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na aspiração há um filtro onde se produz uma queda de pressão (perda de carga) de 540 Pa . No conduto de aspiração produz-se uma perda adicional de 834 Pa , e no conduto de descarga, uma perda de 1226 Pa. Sabendo-se que o ventilador possui as seguintes características: \mathrm{n}=336 \mathrm{rpm}; \mathrm{c}_{\mathrm{m} 5}=15,6 \mathrm{m} / \mathrm{s} ; \mathrm{D}_{5}=4,43 \mathrm{~m}, \mathrm{a}_{4}=90^{\circ} ; \mathrm{n}_{\mathrm{h}}=0,8 \mathrm{n}_{\mathrm{f}}=0,76 é considerando-se número infinito de pás com espessura infinitesimal, calcular:
    a) a diferença de pressão total a ser vencida pelo ventilador;
    b) a potência consumida no seu eixo;
    c) o ânqulo de inclinação das pás na saída do rotor.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. a) A diferença de pressão total a ser vencida pelo ventilador.
  2. b) A potência consumida no eixo do ventilador.
  3. c) O ângulo de inclinação das pás na saída do rotor.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
Q=120\\ \mathrm{m^{3}/s},\quad \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}},
p_{\text{asp}}=1080\\ \mathrm{Pa},\quad p_{\text{sop}}=2160\\ \mathrm{Pa},
velocidade de insuflagem (saída) \;c_{\text{saida}}=15\\ \mathrm{m/s},
\text{queda de pressão no filtro (aspiração)}=540\\ \mathrm{Pa},ãçã
\text{perda no conduto de aspiração}=834\\ \mathrm{Pa},çã
\text{perda no conduto de descarga}=1226\\ \mathrm{Pa},
velocidade de rotação
n=336\\ \mathrm{rpm},
c_{m5}=15{,}6\\ \mathrm{m/s},\quad D_{5}=4{,}43\\ \mathrm{m},\quad \alpha_{4}=90^\circ,
eficiências (fornecidas)
\eta_{h}=0{,}8,\quad \eta_{f}=0{,}76.
Observações que eu vou usar sem pedir confirmação: \alpha_{4}=90^\circ significa que a componente tangencial da velocidade absoluta na saída do rotor é nula ( c_{u2}=0). A notação c_{m5} será usada como velocidade meridional (axial) no plano considerado. Vou assumir as interpretações acima para poder avançar com o cálculo (são as interpretações usuais em problemas deste tipo).

Passo 2

Calcular a vazão mássica, que é útil para potencia e interpretações:
\dot m=\rho Q.
Substituindo:
\dot m = 1{,}2\cdot 120 = 144\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação didática curta: a vazão mássica é a massa que passa por segundo; multiplicamos densidade (massa por volume) pela vazão volumétrica.

Passo 3

Calcular a diferença de pressão total a ser vencida pelo ventilador. Raciocínio físico: o ventilador precisa vencer
  • a diferença de pressão estática entre a câmara de descarga e a de aspiração,
  • as perdas distribuídas nos filtros e condutos (sucção e descarga),
  • e ainda fornecer a energia cinética do jorro de saída (pressão dinâmica) se houver velocidade significativa na saída.
Vou somar:
  1. Diferença de pressões estáticas:
\Delta p_{\text{est}} = p_{\text{sop}}-p_{\text{asp}} = 2160-1080 = 1080\\ \mathrm{Pa}.
  1. Soma das perdas (filtro + conduto aspiração + conduto descarga):
\Delta p_{\text{perdas}} = 540+834+1226 = 2600\\ \mathrm{Pa}.
  1. Pressão dinâmica na descarga (energia cinética por unidade de volume):
\Delta p_{\text{din}} = \tfrac{1}{2}\rho c_{\text{saida}}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 15^{2} = 0{,}6\cdot 225 = 135\\ \mathrm{Pa}.
Somando tudo:
\Delta p_{\text{total}} = \Delta p_{\text{est}}+\Delta p_{\text{perdas}}+\Delta p_{\text{din}} = 1080+2600+135 = 3815\\ \mathrm{Pa}.
Comentário didático: estamos tratando pressões como grandezas que o ventilador precisa “gerar” para deslocar o fluido através do sistema; a pressão dinâmica representa a energia cinética do fluxo que também precisa ser fornecida.

Passo 4

Relacionar a pressão requerida com a equação de Euler para máquinas rotativas (explicando o que é usada):
A forma básica (por unidade de volume) da equação de Euler para um rotor dá a cabeça ideal (pressão ideal) fornecida pelo rotor:
\Delta p_{\text{ideal}}=\rho\,U\,(c_{u2}-c_{u1}),
onde:
  • U é a velocidade periférica do rotor no raio considerado (m/s),
  • c_{u1} e c_{u2} são as componentes tangenciais da velocidade absoluta na entrada (1) e saída (2) do rotor (m/s),
  • \rho é a densidade do fluido.
No mundo real há perdas internas no rotor; a eficiência hidráulica \eta_{h} relaciona a pressão real entregue à fluida com a pressão ideal:
\Delta p_{\text{total (real)}} = \eta_{h}\,\Delta p_{\text{ideal}}.
Portanto a pressão ideal necessária do rotor é
\Delta p_{\text{ideal}}=\frac{\Delta p_{\text{total}}}{\eta_{h}}.
Substituindo valores:
\Delta p_{\text{ideal}}=\frac{3815}{0{,}8}=4768{,}75\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a velocidade periférica U no diâmetro D_{5}. Fórmula e explicação:
A velocidade periférica é U=\omega r. Com rotação em rpm é prático usar
U=\frac{\pi\,n\,D}{60},
porque \omega=2\pi n/60 e r=D/2 -> simplifica para a fórmula acima.
Substituindo n=336\\ \mathrm{rpm} e D_{5}=4{,}43\\ \mathrm{m}:
U=\frac{\pi\cdot 336\cdot 4{,}43}{60}.
Calculemos passo a passo:
\frac{336}{60}=5{,}6,\quad 5{,}6\cdot 4{,}43=24{,}808,\quad U=\pi\cdot 24{,}808\approx 77{,}905\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Usar a equação de Euler para encontrar a componente tangencial na entrada c_{u1}. Como o enunciado dá \alpha_{4}=90^\circ, isso significa que a componente tangencial absoluta na saída é nula:
c_{u2}=0.
Da equação de Euler (usando \Delta p_{\text{ideal}}):
\Delta p_{\text{ideal}}=\rho\,U\,(c_{u2}-c_{u1})=\rho\,U\,(0-c_{u1})=-\rho U c_{u1}.
Isolando c_{u1}:
c_{u1}=-\frac{\Delta p_{\text{ideal}}}{\rho U}.
Substituindo números:
c_{u1}=-\frac{4768{,}75}{1{,}2\cdot 77{,}905}=-\frac{4768{,}75}{93{,}486}\approx -51{,}01\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a componente tangencial absoluta na entrada está no sentido contrário ao do movimento periférico do rotor (isto é, há um redemoinho de entrada que o rotor deve “cortar” para gerar trabalho).

Passo 7

Calcular o ângulo de inclinação das pás na saída do rotor. Explicação conceitual e fórmula:
  • Em máquinas com número muito grande de pás e espessura muito pequena (hipótese do enunciado), presumimos “sem escorregamento” relativo — o ângulo da pá coincide com o ângulo da velocidade relativa do fluido na saída.
  • A velocidade relativa na saída tem componentes: axial (meridional) c_{m5} (fornecido) e tangencial relativa w_{u2}=c_{u2}-U.
  • Como c_{u2}=0, temos w_{u2}=-U. Tomamos o valor absoluto para o ângulo (a direção já sabemos).
    O ângulo da pá na saída medido a partir do eixo axial (ou seja, o ângulo entre a pá e o eixo axial) é dado por
\beta_{2}=\arctan\!\left(\frac{|w_{u2}|}{c_{m5}}\right)=\arctan\!\left(\frac{U}{c_{m5}}\right).
Substituindo U\approx 77{,}905\\ \mathrm{m/s} e c_{m5}=15{,}6\\ \mathrm{m/s}:
\beta_{2}=\arctan\!\left(\frac{77{,}905}{15{,}6}\right)=\arctan(4{,}9965)\approx 78{,}7^\circ.
Comentário prático: ângulo grande significa que as pás saem muito inclinadas em relação ao eixo (muito voltadas para tangencial), comum quando U é bem maior que c_m.

Passo 8

Calcular a potência consumida no eixo. Procedimento e explicação:
  • A potência que o ventilador deve transmitir ao fluido (potência útil hidráulica) é
P_{\text{fluido}}=\Delta p_{\text{total}}\cdot Q.
Substituindo \Delta p_{\text{total}}=3815\\ \mathrm{Pa} e Q=120\\ \mathrm{m^3/s}:
P_{\text{fluido}}=3815\cdot 120 =457800\\ \mathrm{W}.
  • A potência no eixo (potência fornecida pelo motor ao eixo) será maior que P_{\text{fluido}} por causa de perdas (eficiência do ventilador \eta_{f}). Assim:
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{fluido}}}{\eta_{f}}=\frac{457800}{0{,}76}\approx 602368{,}42\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática: P_{\text{eixo}}\approx 602{,}4\\ \mathrm{kW}.
Breve interpretação: primeiro calculamos quanto de potência deve ficar no ar (pressão × vazão). Depois dividimos pela eficiência global da máquina para saber quanto o eixo precisa entregar (levando em conta perdas).

Resposta

(a) \Delta p_{\text{total}}=3815\\ \mathrm{Pa}.
(b) P_{\text{eixo}}\approx 602368{,}4\\ \mathrm{W} (aprox. 602{,}4\\ \mathrm{kW}).
(c) \beta_{2}\approx 78{,}7^\circ (ângulo da pá na saída, medido a partir do eixo axial).

Exercícios relacionados