A roda desbalanceada de \mathrm{m}=25 \mathrm{~kg} tem um raio de giração, medido com relação ao centro de gravidade, de 0,18 \mathrm{~m}. Se a roda é solta do repouso, determine as componentes vertical e horizontal da forca em relação no pino 0 , no instante inicial.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados fornecidos:
m=25\\ \text{kg},\qquad k=0,18\\ \text{m}
a roda é “desbalanceada” e é solta do repouso; pede-se as componentes vertical e horizontal da força (reação) no pino 0 no instante inicial.
O que falta no enunciado (informação necessária para obter valores numéricos):
  • A posição do centro de gravidade G em relação ao pino 0. Precisamos do vetor posição \mathbf{r}_{OG} (por exemplo suas componentes (x,y) ou a distância d e o ângulo \theta). Sem essa geometria não dá para calcular números.
    Observação: eu só usei os números que estavam no enunciado. Se houver uma figura que mostra G em relação ao pino, eu não a recebi; portanto não posso obter valores numéricos. Vou, no entanto, desenvolver passo a passo o método completo e dar fórmulas finais onde você só terá que substituir x,y (ou d,\theta) para obter as componentes.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o momento de inércia da roda em relação ao centro de gravidade G e em seguida em relação ao pino 0.
A definição de raio de giração k significa que o momento de inércia em torno de G é
I_G = m k^2.
Aqui podemos calcular numericamente I_G:
I_G = 25\cdot(0,18)^2 = 25\cdot 0,0324 = 0,81\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
Se a distância entre o pino 0 e G for d=\|\mathbf{r}_{OG}\|, o teorema dos eixos paralelos diz
I_O = I_G + m d^2.
Expliquei: I_O é o momento de inércia em relação ao pino 0; I_G é o momento em torno do CG; m d^2 corrige porque o eixo foi deslocado.

Passo 3

Agora a contribuição do peso como torque sobre o pino. Adoto um sistema de coordenadas plano: x horizontal para a direita, y vertical para cima. Então a posição de G relativa a O é \mathbf{r}_{OG}=(x,y). A força peso é \mathbf{F}_g=(0,-m g), com g\approx 9,81\\ \text{m/s}^2.
O momento (torque) escalar em torno de O (com sinal para o eixo z fora do plano) é
\tau = (\mathbf{r}_{OG}\times \mathbf{F}_g)_z = x\cdot(-m g)-y\cdot 0 = -m g x.
Explicando: o torque depende apenas da componente horizontal x do deslocamento; sinal negativo corresponde ao sentido (o importante é usar o sinal consistente depois).

Passo 4

Equação de rotação (momento) no instante inicial. Como a roda é solta do repouso, a velocidade angular inicial \omega_0=0; a equação de rotação é
I_O\,\alpha=\tau,
onde \alpha é a aceleração angular inicial (escalares, tomando o sinal conforme acima). Assim
\alpha=\frac{\tau}{I_O}=\frac{-m g x}{I_O}.
Expliquei: usamos torque resultante sobre o corpo rígido em torno do pino para achar \alpha.

Passo 5

Relacionar a aceleração linear do centro de gravidade G com \alpha. Para um corpo rígido girando em torno de O (no instante inicial \omega=0) a aceleração do ponto G é
\mathbf{a}_G=\boldsymbol{\alpha}\times \mathbf{r}_{OG}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_{OG}).
No instante inicial \boldsymbol{\omega}=0, então a segunda parcela some e fica apenas
\mathbf{a}_G=\boldsymbol{\alpha}\times \mathbf{r}_{OG}.
Tomando \boldsymbol{\alpha}=\alpha\,\mathbf{k} (eixo z para fora do plano), resulta
\mathbf{a}_G=\alpha(-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}).
Ou em componentes:
a_{Gx}=-\alpha y,\qquad a_{Gy}=\alpha x.
Expliquei: a aceleração é perpendicular a \mathbf{r}_{OG} e proporcional a \alpha.

Passo 6

Equação de resultante de forças (segunda lei de Newton para translação) no instante inicial:
\sum\mathbf{F}=m\mathbf{a}_G.
As forças que atuam são a reação no pino \mathbf{R}=(R_x,R_y) e o peso \mathbf{F}_g=(0,-m g). Logo
(R_x,\,R_y)+(0,-m g)=\bigl(m a_{Gx},\,m a_{Gy}\bigr).
Separando componentes:
R_x = m a_{Gx}=m(-\alpha y),
R_y - m g = m a_{Gy}=m(\alpha x).

Passo 7

Substituímos o valor de \alpha obtido no Passo 4 em R_x,R_y.
Lembrando \alpha=-\dfrac{m g x}{I_O}, obtemos
R_x = m\bigl(-\alpha y\bigr)= -m\left(-\frac{m g x}{I_O}\right)y=\frac{m^2 g x y}{I_O},
R_y = m g + m(\alpha x)=m g + m\left(-\frac{m g x}{I_O}\right)x = m g - \frac{m^2 g x^2}{I_O}.
Estas são fórmulas gerais em termos de x,y e de I_O. Pode-se também escrever I_O em função de d=\sqrt{x^2+y^2}:
I_O=0,81+25 d^2,
pois I_G=0,81\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 (calculado no Passo 2) e m=25.

Passo 8

Alternativa: expressar em termos de d e do ângulo \theta medido desde o eixo horizontal, com x=d\cos\theta e y=d\sin\theta. Substituindo nas fórmulas do Passo 7:
R_x=\frac{m^2 g d^2\cos\theta\sin\theta}{I_O}=\frac{m^2 g d^2}{2I_O}\sin(2\theta),
R_y = m g - \frac{m^2 g d^2\cos^2\theta}{I_O}.
E
I_O=0,81+25 d^2.
Explicação curta: estas fórmulas são prontas para você substituir d e \theta (ou x,y) vindos da figura da questão e calcular R_x,R_y.

Passo 9

Resumo prático do que fazer com a figura (passos que você aplicaria na prova):
  1. Medir (ou ler) x e y — as coordenadas de G em relação ao pino 0 — ou medir d e \theta.
  2. Calcular I_G= m k^2 = 0,81\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
  3. Calcular I_O=0,81+25 d^2.
  4. Calcular R_x e R_y pelas fórmulas do Passo 7 (ou pelas fórmulas em d,\theta do Passo 8).
    Se quiser, me mande a figura ou os valores de x e y (ou d,\theta) que eu já calculo os números para você.

Resposta

\displaystyle R_x=\frac{m^2 g x y}{I_O},\qquad R_y=m g-\frac{m^2 g x^2}{I_O}, com \displaystyle I_O=0,81+25 d^2 e d=\sqrt{x^2+y^2}.

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