A roda desbalanceada de
tem um raio de giração, medido com relação ao centro de gravidade, de
. Se a roda é solta do repouso, determine as componentes vertical e horizontal da forca em relação no pino 0 , no instante inicial.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados fornecidos:
a roda é “desbalanceada” e é solta do repouso; pede-se as componentes vertical e horizontal da força (reação) no pino
no instante inicial.
O que falta no enunciado (informação necessária para obter valores numéricos):
- A posição do centro de gravidade
em relação ao pino . Precisamos do vetor posição (por exemplo suas componentes ou a distância e o ângulo ). Sem essa geometria não dá para calcular números.
Observação: eu só usei os números que estavam no enunciado. Se houver uma figura que mostraem relação ao pino, eu não a recebi; portanto não posso obter valores numéricos. Vou, no entanto, desenvolver passo a passo o método completo e dar fórmulas finais onde você só terá que substituir (ou ) para obter as componentes.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o momento de inércia da roda em relação ao centro de gravidade
e em seguida em relação ao pino
.
A definição de raio de giração
significa que o momento de inércia em torno de
é
Aqui podemos calcular numericamente
:
Se a distância entre o pino
e
for
, o teorema dos eixos paralelos diz
Expliquei:
é o momento de inércia em relação ao pino
;
é o momento em torno do CG;
corrige porque o eixo foi deslocado.
Passo 3
Agora a contribuição do peso como torque sobre o pino. Adoto um sistema de coordenadas plano:
horizontal para a direita,
vertical para cima. Então a posição de
relativa a
é
. A força peso é
, com
.
O momento (torque) escalar em torno de
(com sinal para o eixo
fora do plano) é
Explicando: o torque depende apenas da componente horizontal
do deslocamento; sinal negativo corresponde ao sentido (o importante é usar o sinal consistente depois).
Passo 4
Equação de rotação (momento) no instante inicial. Como a roda é solta do repouso, a velocidade angular inicial
; a equação de rotação é
onde
é a aceleração angular inicial (escalares, tomando o sinal conforme acima). Assim
Expliquei: usamos torque resultante sobre o corpo rígido em torno do pino para achar
.
Passo 5
Relacionar a aceleração linear do centro de gravidade
com
. Para um corpo rígido girando em torno de
(no instante inicial
) a aceleração do ponto
é
No instante inicial
, então a segunda parcela some e fica apenas
Tomando
(eixo
para fora do plano), resulta
Ou em componentes:
Expliquei: a aceleração é perpendicular a
e proporcional a
.
Passo 6
Equação de resultante de forças (segunda lei de Newton para translação) no instante inicial:
As forças que atuam são a reação no pino
e o peso
. Logo
Separando componentes:
Passo 7
Substituímos o valor de
obtido no Passo 4 em
.
Lembrando
, obtemos
Estas são fórmulas gerais em termos de
e de
. Pode-se também escrever
em função de
:
pois
(calculado no Passo 2) e
.
Passo 8
Alternativa: expressar em termos de
e do ângulo
medido desde o eixo horizontal, com
e
. Substituindo nas fórmulas do Passo 7:
E
Explicação curta: estas fórmulas são prontas para você substituir
e
(ou
) vindos da figura da questão e calcular
.
Passo 9
Resumo prático do que fazer com a figura (passos que você aplicaria na prova):
- Medir (ou ler)
e — as coordenadas de em relação ao pino — ou medir e . - Calcular
. - Calcular
. - Calcular
e pelas fórmulas do Passo 7 (ou pelas fórmulas em do Passo 8).
Se quiser, me mande a figura ou os valores dee (ou ) que eu já calculo os números para você.