Questăo (15 pontos)
A posição de uma partícula é r=\left(3 t^{2}-2 t\right) t-\left(4 t^{1 / 2}+t\right) j+\left(3 t^{3}-2\right) k, em m e onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleraçåo da particula quando t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo t (em segundos) e pede a intensidade (módulo) da velocidade e da aceleração no instante t=3\\ \mathrm{s}. As informações relevantes são:
\text{posição: }\; \mathbf{r}(t) = \bigl(3t^{2}-2t\bigr)\,\mathbf{i} \;-\;\bigl(4t^{1/2}+t\bigr)\,\mathbf{j} \;+\;\bigl(3t^{3}-2\bigr)\,\mathbf{k},çã
unidades: \mathbf{r} em metros e t em segundos.
O que precisamos encontrar:
  • a intensidade da velocidade |\mathbf{v}(3)| em \mathrm{m/s};
  • a intensidade da aceleração |\mathbf{a}(3)| em \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Lembrando que velocidade é a derivada da posição e aceleração é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição). Vou escrever cada componente da posição explicitamente (tudo em notação matemática):
r_x(t)=3t^{2}-2t,\qquad r_y(t)= -\bigl(4t^{1/2}+t\bigr),\qquad r_z(t)=3t^{3}-2.
Aqui r_x,r_y,r_z são as componentes em \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} respectivamente.

Passo 3

Regras de derivação que usarei (explicando de leve):
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
  • Derivada de uma constante é zero.
  • Derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Para t^{1/2} uso t^{1/2}=t^{0,5} e a regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{1/2}=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}.
  • Para encontrar a intensidade (módulo) de um vetor em 3D uso a fórmula |\mathbf{u}|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}+u_z^{2}}.

Passo 4

Vou calcular a velocidade \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} componente a componente.
Derivando r_x(t)=3t^{2}-2t:
v_x(t)=\dfrac{d}{dt}(3t^{2}-2t)=6t-2.
Derivando r_y(t)= -\bigl(4t^{1/2}+t\bigr):
v_y(t)= -\Bigl(4\cdot\dfrac{1}{2}t^{-1/2}+1\Bigr)= -\bigl(2t^{-1/2}+1\bigr)= -2t^{-1/2}-1.
Derivando r_z(t)=3t^{3}-2:
v_z(t)=\dfrac{d}{dt}(3t^{3}-2)=9t^{2}.
Portanto:
\mathbf{v}(t)=(6t-2)\,\mathbf{i}+\bigl(-2t^{-1/2}-1\bigr)\,\mathbf{j}+(9t^{2})\,\mathbf{k}.

Passo 5

Agora a aceleração \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt} (segunda derivada da posição), componente a componente.
Derivando v_x(t)=6t-2:
a_x(t)=\dfrac{d}{dt}(6t-2)=6.
Derivando v_y(t)=-2t^{-1/2}-1:
a_y(t)=-2\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)t^{-3/2}=+t^{-3/2}.
(Expliquei: derivada de t^{-1/2} é -\tfrac{1}{2}t^{-3/2}, e o -2 na frente torna o sinal positivo e cancela o \tfrac{1}{2}.)
Derivando v_z(t)=9t^{2}:
a_z(t)=\dfrac{d}{dt}(9t^{2})=18t.
Portanto:
\mathbf{a}(t)=6\,\mathbf{i}+t^{-3/2}\,\mathbf{j}+(18t)\,\mathbf{k}.

Passo 6

Agora avalio \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t) em t=3\\ \mathrm{s}.
Para t=3:
v_x(3)=6\cdot 3-2=18-2=16.
v_y(3)=-2\cdot 3^{-1/2}-1 = -\dfrac{2}{\sqrt{3}}-1.
v_z(3)=9\cdot 3^{2}=9\cdot 9=81.
Logo
\mathbf{v}(3)=16\,\mathbf{i}+\Bigl(-1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)\mathbf{j}+81\,\mathbf{k}.
Para a aceleração em t=3:
a_x(3)=6,
a_y(3)=3^{-3/2}=\dfrac{1}{3^{3/2}}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}},
a_z(3)=18\cdot 3=54.
Logo
\mathbf{a}(3)=6\,\mathbf{i}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\,\mathbf{j}+54\,\mathbf{k}.

Passo 7

Agora calculo as intensidades (módulos) usando |\mathbf{u}|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}+u_z^{2}}.
Primeiro a velocidade:
|\mathbf{v}(3)|=\sqrt{16^{2}+\Bigl(-1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^{2}+81^{2}}.
Vou calcular numericamente (com aproximações decimais razoáveis):
\sqrt{3}\approx 1,7320508,\qquad \dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,1547005,
-1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx -2,1547005,\qquad \Bigl(-1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^{2}\approx 4,64273441.
16^{2}=256,\qquad 81^{2}=6561.
Somando:
256+6561+4,64273441\approx 6821,64273441.
Tirando raiz quadrada:
|\mathbf{v}(3)|\approx \sqrt{6821,64273441}\approx 82,605\\ \mathrm{m/s}.
Agora a aceleração:
|\mathbf{a}(3)|=\sqrt{6^{2}+\Bigl(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\Bigr)^{2}+54^{2}}.
Calculo passo a passo:
\Bigl(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\Bigr)^{2}=\dfrac{1}{9\cdot 3}=\dfrac{1}{27}\approx 0,037037037.
6^{2}=36,\qquad 54^{2}=2916.
Somando:
36+2916+0,037037037\approx 2952,037037037.
Raiz quadrada:
|\mathbf{a}(3)|\approx \sqrt{2952,037037037}\approx 54,333\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

|\mathbf{v}(3)|\approx 82,605\\ \mathrm{m/s}\n |\mathbf{a}(3)|\approx 54,333\\ \mathrm{m/s^{2}}

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