Questăo (15 pontos)
A posição de uma partícula é
, em m e onde
é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleraçåo da particula quando
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo
(em segundos) e pede a intensidade (módulo) da velocidade e da aceleração no instante
. As informações relevantes são:
unidades:
em metros e
em segundos.
O que precisamos encontrar:
- a intensidade da velocidade
em ; - a intensidade da aceleração
em .
Passo 2
Lembrando que velocidade é a derivada da posição e aceleração é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição). Vou escrever cada componente da posição explicitamente (tudo em notação matemática):
Aqui
são as componentes em
respectivamente.
Passo 3
Regras de derivação que usarei (explicando de leve):
- Regra do poder (power rule):
. Ex.: . - Derivada de uma constante é zero.
- Derivada da soma é a soma das derivadas.
- Para
uso e a regra do poder: . - Para encontrar a intensidade (módulo) de um vetor em 3D uso a fórmula
.
Passo 4
Vou calcular a velocidade
componente a componente.
Derivando
:
Derivando
:
Derivando
:
Portanto:
Passo 5
Agora a aceleração
(segunda derivada da posição), componente a componente.
Derivando
:
Derivando
:
(Expliquei: derivada de
é
, e o
na frente torna o sinal positivo e cancela o
.)
Derivando
:
Portanto:
Passo 6
Agora avalio
e
em
.
Para
:
Logo
Para a aceleração em
:
Logo
Passo 7
Agora calculo as intensidades (módulos) usando
.
Primeiro a velocidade:
Vou calcular numericamente (com aproximações decimais razoáveis):
Somando:
Tirando raiz quadrada:
Agora a aceleração:
Calculo passo a passo:
Somando:
Raiz quadrada: