Questão (15 pontos)
A posição de uma partícula é r=\left(3 t^{2}-2 t\right) i-\left(4 t^{1 / 2}+t\right) j+\left(3 t^{3}-2\right) k, em m e onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula quando t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
r(t)=\bigl(3t^{2}-2t\bigr)\,\mathbf{i}-\bigl(4t^{1/2}+t\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(3t^{3}-2\bigr)\,\mathbf{k},
com t em segundos e distâncias em metros. Pede-se: determinar a intensidade (módulo) da velocidade e da aceleração da partícula quando t=3\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
r_x(t)=3t^2-2t,\qquad r_y(t)=-\bigl(4t^{1/2}+t\bigr),\qquad r_z(t)=3t^3-2.
O que precisamos fornecer: |v(3)| e |a(3)|, onde v(t)=\dfrac{dr}{dt} e a(t)=\dfrac{dv}{dt}.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (aula rápida): a velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
v(t)=\frac{dr}{dt}=\bigl(r_x'(t)\bigr)\mathbf{i}+\bigl(r_y'(t)\bigr)\mathbf{j}+\bigl(r_z'(t)\bigr)\mathbf{k}.
A aceleração é a derivada da velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\bigl(v_x'(t)\bigr)\mathbf{i}+\bigl(v_y'(t)\bigr)\mathbf{j}+\bigl(v_z'(t)\bigr)\mathbf{k}.
Para o módulo (intensidade) de um vetor \mathbf{u}=u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k} usamos a fórmula
|\mathbf{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
Vou aplicar essas fórmulas componente a componente. Lembre que a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Em particular, a derivada de t^{1/2} é \tfrac{1}{2}t^{-1/2}.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes de r(t).
Para a componente x:
r_x(t)=3t^2-2t \quad\Rightarrow\quad r_x'(t)=6t-2.
Para a componente y:
r_y(t)=-\bigl(4t^{1/2}+t\bigr)=-4t^{1/2}-t.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}(-4t^{1/2})=-4\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}=-2t^{-1/2}, \qquad \frac{d}{dt}(-t)=-1.
Portanto
r_y'(t)=-2t^{-1/2}-1.
Para a componente z:
r_z(t)=3t^3-2 \quad\Rightarrow\quad r_z'(t)=9t^2.
Logo a velocidade geral é
v(t)=(6t-2)\,\mathbf{i}+\bigl(-2t^{-1/2}-1\bigr)\,\mathbf{j}+(9t^2)\,\mathbf{k}.

Passo 4

Agora derivamos v(t) para obter a(t), componente a componente.
Para v_x(t)=6t-2:
v_x'(t)=6.
Para v_y(t)=-2t^{-1/2}-1:
\frac{d}{dt}(-2t^{-1/2})=-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)t^{-3/2}=+1\cdot t^{-3/2}, \qquad \frac{d}{dt}(-1)=0.
Portanto v_y'(t)=t^{-3/2}.
Para v_z(t)=9t^2:
v_z'(t)=18t.
Assim a aceleração é
a(t)=6\,\mathbf{i}+t^{-3/2}\,\mathbf{j}+18t\,\mathbf{k}.

Passo 5

Avaliar v(t) e a(t) em t=3\\ \mathrm{s} componente a componente.
Para a velocidade:
v_x(3)=6\cdot 3-2=18-2=16,
v_y(3)=-2\cdot 3^{-1/2}-1=-\frac{2}{\sqrt{3}}-1,
v_z(3)=9\cdot 3^2=9\cdot 9=81.
Portanto
v(3)=16\,\mathbf{i}+\Bigl(-1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)\mathbf{j}+81\,\mathbf{k}.
Para a aceleração:
a_x(3)=6,
a_y(3)=3^{-3/2}=\frac{1}{3^{3/2}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9},
a_z(3)=18\cdot 3=54.
Portanto
a(3)=6\,\mathbf{i}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\,\mathbf{j}+54\,\mathbf{k}.

Passo 6

Calcular os módulos usando a fórmula |\mathbf{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
Para a velocidade:
|v(3)|=\sqrt{16^2+\Bigl(-1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+81^2}.
Calculemos passo a passo:
16^2=256.
81^2=6561.
Quadrado da componente y:
\Bigl(-1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^2=1+\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{\sqrt{3}}.
Somando:
16^2+81^2=256+6561=6817.
Então
|v(3)|=\sqrt{6817+\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{\sqrt{3}}}.
Agora valor numérico (aproximação):
\frac{7}{3}\approx 2{,}333333,\qquad \frac{4}{\sqrt{3}}\approx 2{,}309401,
6817+2{,}333333+2{,}309401\approx 6821{,}642734.
Logo
|v(3)|\approx\sqrt{6821{,}642734}\approx 82{,}59\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Para a aceleração:
|a(3)|=\sqrt{6^2+\Bigl(\frac{1}{3\sqrt{3}}\Bigr)^2+54^2}.
Calculemos:
6^2=36.
54^2=2916.
\displaystyle\Bigl(\frac{1}{3\sqrt{3}}\Bigr)^2=\frac{1}{27}\approx 0{,}037037.
Somando:
36+2916+\frac{1}{27}=2952+\frac{1}{27}\approx 2952{,}037037.
Logo
|a(3)|\approx\sqrt{2952{,}037037}\approx 54{,}33\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

|v(3)|\approx 82{,}59\\ \mathrm{m/s}
|a(3)|\approx 54{,}33\\ \mathrm{m/s^2}

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