Questão (15 pontos)
A posição de uma partícula é
, em m e onde
é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula quando
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula
com
em segundos e distâncias em metros. Pede-se: determinar a intensidade (módulo) da velocidade e da aceleração da partícula quando
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que precisamos fornecer:
e
, onde
e
.
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (aula rápida): a velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
A aceleração é a derivada da velocidade:
Para o módulo (intensidade) de um vetor
usamos a fórmula
Vou aplicar essas fórmulas componente a componente. Lembre que a derivada de
é
. Em particular, a derivada de
é
.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes de
.
Para a componente
:
Para a componente
:
Derivando termo a termo:
Portanto
Para a componente
:
Logo a velocidade geral é
Passo 4
Agora derivamos
para obter
, componente a componente.
Para
:
Para
:
Portanto
.
Para
:
Assim a aceleração é
Passo 5
Avaliar
e
em
componente a componente.
Para a velocidade:
Portanto
Para a aceleração:
Portanto
Passo 6
Calcular os módulos usando a fórmula
.
Para a velocidade:
Calculemos passo a passo:
Quadrado da componente
:
Somando:
Então
Agora valor numérico (aproximação):
Logo
Passo 7
Para a aceleração:
Calculemos:
Somando:
Logo