Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço
.
, munido das operações usuais e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
-
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar que
não é vazio. Basta mostrar que o vetor zero de
está em
. Tomando
e
temos
logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob adição. Sejam
Então
Como definimos
e
, esse soma tem a forma
, isto é, pertence a
. Portanto
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
Então
Se definirmos
e
, vemos que
.