Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço \operatorname{vetorial}(V,+, \cdot).
V \doteq \mathbb{R}^{4}, munido das operações usuais e W \doteq\{(x, x, y, y) ; x, y \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = \mathbb{R}^4 com as operações usuais e o subconjunto
W = \{(x,x,y,y) \mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Para mostrar que W é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. W\neq\emptyset.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que W não é vazio. Basta mostrar que o vetor zero de V está em W. Tomando x=0 e y=0 temos
(0,0,0,0)\in W,
logo W\neq\emptyset.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Sejam
u=(x_1,x_1,y_1,y_1),\quad v=(x_2,x_2,y_2,y_2)\in W.
Então
u+v=(x_1+x_2,\;x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;y_1+y_2).
Como definimos x'=x_1+x_2 e y'=y_1+y_2, esse soma tem a forma (x',x',y',y'), isto é, pertence a W. Portanto u+v\in W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u=(x,x,y,y)\in W.
Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha y).
Se definirmos x'=\alpha x e y'=\alpha y, vemos que \alpha u=(x',x',y',y')\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

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