Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço \operatorname{vetorial}(V,+, \cdot).
V \doteq M_{n}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W \doteq\left\{A \in M_{n}(\mathbb{R})\right.; \left.A^{t}=-A\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = M_{n}(\mathbb{R}) com as operações usuais e o subconjunto
W = \{A \in M_{n}(\mathbb{R}) \mid A^{t} = -A\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso checamos:
  1. O elemento zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o zero de V está em W. Seja 0 a matriz nula. Então
0^{t} = 0 = -0,
logo 0\in W.

Passo 3

Verificamos fechamento sob soma. Tomemos A,B\in W. Então
A^{t} = -A \quad\text{e}\quad B^{t} = -B.
Logo
(A+B)^{t} = A^{t} + B^{t} = -A + (-B) = -(A+B),
ou seja, A+B\in W.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e A\in W. Então
(\alpha A)^{t} = \alpha\,A^{t} = \alpha(-A) = -(\alpha A),
portanto \alpha A\in W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

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