Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações
e
indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
,
onde
, onde
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o conjunto
com as operações
com as operações
Queremos ver se
é espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos conferir as leis de espaço vetorial: fechamento em
e
, existência de elemento neutro e inverso para
, comutatividade e associatividade de
, e as propriedades de distributividade e compatibilidade de
.
Passo 2
Verificação do fechamento e dos axiomas de adição:
- Fechamento em
: dado , temos e , logo . - Comutatividade e associatividade de
decorrem da comutatividade e associatividade usuais da soma em e do produto em . - Elemento neutro para
é , pois
- Inverso aditivo de
é , pois
Logo, todos os axiomas de adição são satisfeitos.
Passo 3
Verificação das propriedades de multiplicação por escalar (fechamento e leis associativas/distributivas):
- Fechamento em
? Dado e ,
e deve pertencer a para que . - Distributividades e compatibilidades:
-
e
-
e
-
e
-
.
Todas essas relações formais conferem, desde queesteja bem definido em .
Passo 4
Ponto crítico: fechamento de
.
Para que permaneça em
, precisamos de
para todo
e todo
.
Mas se e
não for inteiro (por exemplo
), então
não está definido em
. Por exemplo,
Para que
Mas se
Logo não há fechamento em
quando permitimos
negativos e
real arbitrário.
Passo 5
Conclusão: como falta fechamento na multiplicação por escalar, a estrutura
não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial sobre
porque a multiplicação por escalar não é fechada: para
e
,
não está em
.