Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações \oplus e \odot indicadas, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
V=\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*},
\begin{aligned} \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right) & \doteq\left(x_{1}+x_{2}, y_{1} y_{2}\right) \\\ \alpha \odot(x, y) & \doteq\left(\alpha x, y^{\alpha}\right) \end{aligned}
onde \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}, onde \mathbb{R}^{*} \doteq \mathbb{R} \backslash\{0\}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o conjunto \displaystyle V=\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*
com as operações
(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1\,y_2), \quad \alpha\odot(x,y)=(\alpha x,\;y^\alpha).
Queremos ver se (V,\oplus,\odot) é espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso precisamos conferir as leis de espaço vetorial: fechamento em \oplus e \odot, existência de elemento neutro e inverso para \oplus, comutatividade e associatividade de \oplus, e as propriedades de distributividade e compatibilidade de \odot.

Passo 2

Verificação do fechamento e dos axiomas de adição:
  • Fechamento em \oplus: dado (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V, temos x_1+x_2\in\mathbb{R} e y_1y_2\in\mathbb{R}^*, logo (x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)\in V.
  • Comutatividade e associatividade de \oplus decorrem da comutatividade e associatividade usuais da soma em \mathbb{R} e do produto em \mathbb{R}^*.
  • Elemento neutro para \oplus é (0,1), pois
(x,y)\oplus(0,1)=(x+0,\;y\cdot1)=(x,y).
  • Inverso aditivo de (x,y) é (-x,y^{-1}), pois
(x,y)\oplus(-x,y^{-1}) =(x-x,\;y\cdot y^{-1})=(0,1).
Logo, todos os axiomas de adição são satisfeitos.

Passo 3

Verificação das propriedades de multiplicação por escalar (fechamento e leis associativas/distributivas):
  1. Fechamento em \odot? Dado \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in V,
    \alpha x\in\mathbb{R} e y^\alpha deve pertencer a \mathbb{R}^* para que \alpha\odot(x,y)\in V.
  2. Distributividades e compatibilidades:
  • \alpha\odot\bigl((x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)\bigr) =(\alpha(x_1+x_2),\,(y_1y_2)^\alpha) =(\alpha x_1+\alpha x_2,\;y_1^\alpha y_2^\alpha)
    e
    \alpha\odot(x_1,y_1)\oplus\alpha\odot(x_2,y_2) =(\alpha x_1,y_1^\alpha)\oplus(\alpha x_2,y_2^\alpha) =(\alpha x_1+\alpha x_2,\;y_1^\alpha y_2^\alpha).
  • (\alpha+\beta)\odot(x,y) =((\alpha+\beta)x,\;y^{\alpha+\beta}) =(\alpha x+\beta x,\;y^\alpha y^\beta)
    e
    \alpha\odot(x,y)\oplus\beta\odot(x,y) =(\alpha x,y^\alpha)\oplus(\beta x,y^\beta) =(\alpha x+\beta x,\;y^\alpha y^\beta).
  • (\alpha\beta)\odot(x,y) =(\alpha\beta x,\;y^{\alpha\beta})
    e
    \alpha\odot\bigl(\beta\odot(x,y)\bigr) =\alpha\odot(\beta x,y^\beta) =(\alpha\beta x,\;(y^\beta)^\alpha) =(\alpha\beta x,\;y^{\beta\alpha}).
  • 1\odot(x,y)=(1\cdot x,y^1)=(x,y).
    Todas essas relações formais conferem, desde que y^\alpha esteja bem definido em \mathbb{R}^*.

Passo 4

Ponto crítico: fechamento de \odot.
Para que \alpha\odot(x,y) permaneça em V, precisamos de y^\alpha\in\mathbb{R}^* para todo y\in\mathbb{R}^* e todo \alpha\in\mathbb{R}.
Mas se y<0 e \alpha não for inteiro (por exemplo \alpha=\tfrac12), então y^\alpha não está definido em \mathbb{R}. Por exemplo,
(-1)^{1/2}\notin\mathbb{R}.
Logo não há fechamento em \odot quando permitimos y negativos e \alpha real arbitrário.

Passo 5

Conclusão: como falta fechamento na multiplicação por escalar, a estrutura \bigl(V,\oplus,\odot\bigr) não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} porque a multiplicação por escalar não é fechada: para y<0 e \alpha\notin\mathbb{Z}, y^\alpha não está em \mathbb{R}^*.

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