Exercício 3. Considere o conjunto
. Mostre que (
) NÃO é um espaço vetorial sobre
, quando munido de cada uma das seguintes operações
, justificando as respostas, dadas por:
e
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
e .
Queremos mostrar que não é um espaço vetorial sobre
, isto é, alguma das axiomas de espaço vetorial falha.
com as operações
e
Queremos mostrar que
Passo 2
Em todo espaço vetorial há um vetor nulo
que satisfaz
e há a propriedade de multiplicação por zero escalar:
Na nossa estrutura, pela definição de
o vetor nulo é
pois
.
Passo 3
Vamos verificar a condição
.
Pela definição de temos
Pela definição de
Para ser o vetor nulo
precisaríamos
para todo
. Mas se escolhermos
, então
Logo a propriedade
não vale em geral.