Exercício 3. Considere o conjunto V \doteq\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) ; x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\}. Mostre que ( V,+, \cdot ) NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, quando munido de cada uma das seguintes operações \oplus \mathrm{e} \odot, justificando as respostas, dadas por:
\left(x_{1}, x_{2}\right) \oplus\left(y_{1}, y_{2}\right) \doteq\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}\right) e \lambda \odot\left(x_{1}, x_{2}\right) \doteq\left(\lambda x_{1}, x_{2}\right).

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{(x_{1},x_{2})\,;\;x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\}
com as operações \displaystyle (x_{1},x_{2})\oplus(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2})
e \displaystyle \lambda\odot(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},\,x_{2}).
Queremos mostrar que (V,\oplus,\odot) não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, isto é, alguma das axiomas de espaço vetorial falha.

Passo 2

Em todo espaço vetorial há um vetor nulo 0_{V} que satisfaz
0_{V}\oplus v \;=\; v \quad\forall\,v\in V,
e há a propriedade de multiplicação por zero escalar:
0_{\mathbb{R}}\odot v \;=\;0_{V} \quad\forall\,v\in V.
Na nossa estrutura, pela definição de \oplus o vetor nulo é
0_{V}=(0,0),
pois (0,0)\oplus(x_{1},x_{2})=(x_{1},x_{2}).

Passo 3

Vamos verificar a condição \displaystyle 0_{\mathbb{R}}\odot (x_{1},x_{2})=0_{V}.
Pela definição de \odot temos
0_{\mathbb{R}}\odot(x_{1},x_{2}) =(0\cdot x_{1},\,x_{2}) =(0,\,x_{2}).
Para ser o vetor nulo (0,0) precisaríamos (0,x_{2})=(0,0) para todo (x_{1},x_{2}). Mas se escolhermos x_{2}\neq 0, então
(0,x_{2})\neq(0,0).
Logo a propriedade 0_{\mathbb{R}}\odot v=0_{V} não vale em geral.

Resposta

(V,\oplus,\odot) não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, pois falha o axioma 0_{\mathbb{R}}\odot v=0_{V}.

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