• Exercício IV: Verifique se uma coluna W 250 \times 58 suporta com segurança uma força axial P = 1150 kN . A coluna tem 6 m de comprimento, é apoiada por pinos nas duas extremidades e escorada em seu eixo mais fraco a meia altura. É feita com aço com \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} e \sigma_{\mathrm{e}}=350 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a coluna perfil W 250\times 58, comprimento L=6{,}0\text{ m}, apoiada em pinos em ambas as extremidades e escorada no eixo mais fraco à meia altura, suporta com segurança a carga axial P=1150\text{ kN}. O aço tem módulo de Young E=200\text{ GPa} e limite de escoamento \sigma_e=350\text{ MPa}. O conteúdo principal é flambagem de Euler/Johnson em colunas com diferentes comprimentos efetivos nos eixos forte e fraco.

Passo 2

Precisamos da área da seção \,A e dos raios de giração r_x (eixo forte) e r_y (eixo fraco).
  • A massa linear é 58\text{ kg/m}. Como a densidade do aço é \rho=7850\text{ kg/m}^3,
A = \frac{58}{7850} \approx 7{,}3885\times10^{-3}\text{ m}^2.
  • De tabela de perfis W 250\times 58 (ver catálogo de perfis), tomamos
r_x = 74{,}8\text{ mm} = 0{,}0748\text{ m}, \quad r_y = 45{,}7\text{ mm} = 0{,}0457\text{ m}.

Passo 3

Determinamos os comprimentos efetivos L_e nos dois eixos:
  • Eixo forte (x): colunas pino-pino \Rightarrow K_x=1,
L_{e,x} = K_x L = 1\cdot6{,}0 =6{,}0\text{ m}.
  • Eixo fraco (y): há escoramento à meia altura, dividindo a coluna em dois segmentos pino-pino de 3{,}0\text{ m} cada, logo
L_{e,y} = 3{,}0\text{ m}.

Passo 4

Calculamos a esbeltez \lambda = L_e/r em cada eixo:
\lambda_x = \frac{6{,}0}{0{,}0748}\approx80{,}2, \quad \lambda_y = \frac{3{,}0}{0{,}0457}\approx65{,}6.

Passo 5

Verificamos o limite de esbeltez para usar a fórmula de Johnson,
\lambda_p = \sqrt{\frac{2\pi^2E}{\sigma_e}} = \sqrt{\frac{2\pi^2\cdot200\,000}{350}} \approx106{,}2.
Como \lambda_x<\lambda_p e \lambda_y<\lambda_p, aplicamos a fórmula de Johnson:
\sigma_{cr} = \sigma_e \Bigl[1 - \frac{\sigma_e\,\lambda^2}{4\pi^2E}\Bigr].

Passo 6

Calculamos a tensão crítica em cada eixo:
Para x:
\sigma_{cr,x} =350\Bigl[1-\frac{350\,(80{,}2)^2}{4\pi^2\cdot200\,000}\Bigr] \approx250{,}3\text{ MPa}.
Para y:
\sigma_{cr,y} =350\Bigl[1-\frac{350\,(65{,}6)^2}{4\pi^2\cdot200\,000}\Bigr] \approx283{,}3\text{ MPa}.
O eixo crítico é o x, com \sigma_{cr}=\sigma_{cr,x}=250{,}3\text{ MPa}.

Passo 7

A carga crítica é
P_{cr} = \sigma_{cr}\,A =250{,}3\times10^6\cdot7{,}3885\times10^{-3} \approx1{,}849\times10^6\text{ N} =1849\text{ kN}.
Como P_{cr}=1849\text{ kN}>P=1150\text{ kN}, a coluna suporta com segurança a carga solicitada.

Resposta

Sim.

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