Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é aberto e/ou fechado.
Informações dadas: o conjunto considerado é dentro da reta real com a topologia usual (vizinhanças são intervalos abertos).
Perguntas explícitas: “É aberto?” e “É fechado?”
Informações dadas: o conjunto considerado é
Perguntas explícitas: “É aberto?” e “É fechado?”
Passo 2
Definições essenciais (vou explicar devagar, como num amigo explicando):
- Um conjunto
é aberto quando, para todo ponto , existe tal que o intervalo está contido em . Ou seja, todo ponto de tem uma vizinhança totalmente dentro de . - Um conjunto
é fechado quando o seu complemento é aberto. Outra forma prática: é fechado se contém todos os seus pontos-limite (se toda sequência convergente cujos termos estão em tem limite em ).
Explico o que é ponto-limite:é ponto-limite de se existem pontos de arbitrariamente próximos de (por exemplo, existe uma sequência em que converge para ).
Passo 3
Testando abertura de
.
Pegamos um ponto genérico . Existem dois casos:
e
.
Pegamos um ponto genérico
- Caso
: então . Posso escolher, por exemplo, . Considere o intervalo . O extremo direito é
e como
temos
. Portanto
. Isso mostra que qualquer ponto
possui uma vizinhança totalmente contida em
; logo esses pontos são interiores.
Passo 4
Verificando o ponto
.
O ponto pertence a
. Mas qualquer vizinhança de
tem a forma
com
e contém pontos maiores que
(por exemplo
). Esses pontos maiores que
não pertencem a
. Logo não existe nenhum
tal que
. Portanto
não é um ponto interior do conjunto.
O ponto
Passo 5
Conclusão sobre abertura.
Como há pelo menos um ponto do conjunto (o próprio ) que não tem vizinhança inteira contida no conjunto, concluímos que
não é aberto.
Como há pelo menos um ponto do conjunto (o próprio
Passo 6
Testando fechado. Vou usar a caracterização pelo complemento.
O complemento de em
é
O complemento de
Mostro que
é aberto: seja
. Então
. Tome
. O intervalo
tem seu extremo esquerdo
e como
temos
. Assim
. Isso vale para todo
, logo
é aberto.
Passo 7
Conclusão sobre fechado.
Como o complemento é aberto, por definição
é fechado. (Alternativa: mostra-se que todo ponto-limite da sequência
é
, e
pertence ao conjunto; todos os pontos-limite ficam no conjunto — reforço da mesma conclusão.)
Como o complemento
Resposta
O conjunto
é fechado e não é aberto.