Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
(-\infty, 3];

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto (-\infty,3] é aberto e/ou fechado.
Informações dadas: o conjunto considerado é (-\infty,3] dentro da reta real com a topologia usual (vizinhanças são intervalos abertos).
Perguntas explícitas: “É aberto?” e “É fechado?”

Passo 2

Definições essenciais (vou explicar devagar, como num amigo explicando):
  • Um conjunto U\subset\mathbb{R} é aberto quando, para todo ponto x\in U, existe \varepsilon>0 tal que o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está contido em U. Ou seja, todo ponto de U tem uma vizinhança totalmente dentro de U.
  • Um conjunto F\subset\mathbb{R} é fechado quando o seu complemento \mathbb{R}\setminus F é aberto. Outra forma prática: F é fechado se contém todos os seus pontos-limite (se toda sequência convergente cujos termos estão em F tem limite em F).
    Explico o que é ponto-limite: x é ponto-limite de F se existem pontos de F arbitrariamente próximos de x (por exemplo, existe uma sequência em F que converge para x).

Passo 3

Testando abertura de (-\infty,3].
Pegamos um ponto genérico x\in(-\infty,3]. Existem dois casos: x<3 e x=3.
  • Caso x<3: então 3-x>0. Posso escolher, por exemplo, \varepsilon=\dfrac{3-x}{2}>0. Considere o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon). O extremo direito é
x+\varepsilon = x + \frac{3-x}{2} = \frac{x+3}{2},
e como x<3 temos \frac{x+3}{2}<3. Portanto (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(-\infty,3)\subset(-\infty,3]. Isso mostra que qualquer ponto x<3 possui uma vizinhança totalmente contida em (-\infty,3]; logo esses pontos são interiores.

Passo 4

Verificando o ponto x=3.
O ponto 3 pertence a (-\infty,3]. Mas qualquer vizinhança de 3 tem a forma (3-\delta,3+\delta) com \delta>0 e contém pontos maiores que 3 (por exemplo 3+\delta/2). Esses pontos maiores que 3 não pertencem a (-\infty,3]. Logo não existe nenhum \varepsilon>0 tal que (3-\varepsilon,3+\varepsilon)\subset(-\infty,3]. Portanto 3 não é um ponto interior do conjunto.

Passo 5

Conclusão sobre abertura.
Como há pelo menos um ponto do conjunto (o próprio 3) que não tem vizinhança inteira contida no conjunto, concluímos que (-\infty,3] não é aberto.

Passo 6

Testando fechado. Vou usar a caracterização pelo complemento.
O complemento de (-\infty,3] em \mathbb{R} é
\mathbb{R}\setminus(-\infty,3] = (3,\infty).
Mostro que (3,\infty) é aberto: seja y\in(3,\infty). Então y-3>0. Tome \varepsilon=\dfrac{y-3}{2}>0. O intervalo (y-\varepsilon,y+\varepsilon) tem seu extremo esquerdo
y-\varepsilon = y - \frac{y-3}{2} = \frac{y+3}{2},
e como y>3 temos \frac{y+3}{2}>3. Assim (y-\varepsilon,y+\varepsilon)\subset(3,\infty). Isso vale para todo y\in(3,\infty), logo (3,\infty) é aberto.

Passo 7

Conclusão sobre fechado.
Como o complemento (3,\infty) é aberto, por definição (-\infty,3] é fechado. (Alternativa: mostra-se que todo ponto-limite da sequência x_n=3-\tfrac{1}{n} é 3, e 3 pertence ao conjunto; todos os pontos-limite ficam no conjunto — reforço da mesma conclusão.)

Resposta

O conjunto (-\infty,3] é fechado e não é aberto.

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