2- Um arame tem a forma da curva dada por
, sent,
com
. Calcule a massa do arame sabendo que sua densidade linear em cada ponto é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A curva do arame está parametrizada por
com . - A densidade linear (em cada ponto
) é . - A pergunta: calcular a massa total do arame (ou seja, a integral da densidade ao longo da curva, somando a contribuição de cada pedaço do arame).
Passo 2
O que significa “massa do arame” quando se dá uma densidade linear
ao longo de uma curva? Vou explicar devagar. Se tivermos uma curva
parametrizada por
e uma densidade linear
, a massa
é dada por
onde
é o elemento de comprimento ao longo da curva. Ao parametrizar pela variável
, substituímos
. Assim a integral vira
com
e
os limites do parâmetro (aqui
e
). Isso é tudo que precisamos para montar a integral.
Passo 3
Calcular
e o comprimento infinitesimal
.
- Diferenciando componente a componente:
- Agora o módulo (comprimento) de
é
- Usando
, obtemos
Portanto
. Note que é constante ao longo da curva — isso simplifica a integral.
Passo 4
Avaliar a densidade
ao longo da curva, ou seja, substituir
em
.
- Substituindo:
- Novamente usando
, fica
Passo 5
Montar a integral da massa juntando
e
. Temos
Como
é constante, podemos fatorá-la:
Passo 6
Calcular a integral
passo a passo.
- Separando termos:
- Primeiro termo:
- Segundo termo: a anti-derivada de
é . Então
- Multiplicando por
:
- Somando os dois termos:
Passo 7
Voltar ao valor de
com o fator
:
Podemos fatorar
para simplificar a aparência:
Essa é a forma simplificada e exata da massa.