2- Um arame tem a forma da curva dada por r(t)=(\cos t, sent, t) com 0 \leq t \leq 2 \pi. Calcule a massa do arame sabendo que sua densidade linear em cada ponto é dada por \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+3 z^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A curva do arame está parametrizada por \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) com 0\le t\le 2\pi.
  • A densidade linear (em cada ponto (x,y,z)) é \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+3z^{2}.
  • A pergunta: calcular a massa total do arame (ou seja, a integral da densidade ao longo da curva, somando a contribuição de cada pedaço do arame).

Passo 2

O que significa “massa do arame” quando se dá uma densidade linear \rho ao longo de uma curva? Vou explicar devagar. Se tivermos uma curva C parametrizada por \mathbf{r}(t) e uma densidade linear \rho(x,y,z), a massa M é dada por
M=\int_{C}\rho\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva. Ao parametrizar pela variável t, substituímos ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt. Assim a integral vira
M=\int_{a}^{b}\rho(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt,
com a e b os limites do parâmetro (aqui 0 e 2\pi). Isso é tudo que precisamos para montar a integral.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) e o comprimento infinitesimal |\mathbf{r}'(t)|\,dt.
  • Diferenciando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1).
  • Agora o módulo (comprimento) de \mathbf{r}'(t) é
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1}.
  • Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt=\sqrt{2}\,dt. Note que é constante ao longo da curva — isso simplifica a integral.

Passo 4

Avaliar a densidade \rho ao longo da curva, ou seja, substituir (x,y,z)=\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) em \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+3z^{2}.
  • Substituindo:
\rho(\mathbf{r}(t))=(\cos t)^{2}+(\sin t)^{2}+3t^{2}.
  • Novamente usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, fica
\rho(\mathbf{r}(t))=1+3t^{2}.

Passo 5

Montar a integral da massa juntando \rho(\mathbf{r}(t)) e |\mathbf{r}'(t)|. Temos
M=\int_{0}^{2\pi}\rho(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt =\int_{0}^{2\pi}(1+3t^{2})\sqrt{2}\,dt.
Como \sqrt{2} é constante, podemos fatorá-la:
M=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}(1+3t^{2})\,dt.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{2\pi}(1+3t^{2})\,dt passo a passo.
  • Separando termos:
\int_{0}^{2\pi}(1+3t^{2})\,dt=\int_{0}^{2\pi}1\,dt+3\int_{0}^{2\pi}t^{2}\,dt.
  • Primeiro termo:
\int_{0}^{2\pi}1\,dt = [t]_{0}^{2\pi}=2\pi.
  • Segundo termo: a anti-derivada de t^{2} é t^{3}/3. Então
\int_{0}^{2\pi}t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^{3}}{3}=\frac{8\pi^{3}}{3}.
  • Multiplicando por 3:
3\int_{0}^{2\pi}t^{2}\,dt=3\cdot\frac{8\pi^{3}}{3}=8\pi^{3}.
  • Somando os dois termos:
\int_{0}^{2\pi}(1+3t^{2})\,dt=2\pi+8\pi^{3}.

Passo 7

Voltar ao valor de M com o fator \sqrt{2}:
M=\sqrt{2}\,(2\pi+8\pi^{3}).
Podemos fatorar 2\pi para simplificar a aparência:
M=2\sqrt{2}\,\pi\,(1+4\pi^{2}).
Essa é a forma simplificada e exata da massa.

Resposta

2\sqrt{2}\,\pi\,(1+4\pi^{2})

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