8- Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y, z)=(2 x, y, 3 z) para deslocar uma partícula ao longo da curva C , de parametrização r(t)=(\cos t, sent, t), \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças \,F(x,y,z)=(2x,y,3z)\, ao deslocar uma partícula ao longo da curva C dada pela parametrização \;r(t)=(\cos t,\; \text{sent},\; t)\; com 0\le t\le 2\pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo é \;F(x,y,z)=(2x,y,3z)\;.
  • A curva está parametrizada por \;r(t)=(\cos t,\;\text{sent},\;t)\; para 0\le t\le 2\pi. Aqui eu interpretei \text{sent} como \sin t (provavelmente houve um pequeno erro de digitação); portanto usarei \;r(t)=(\cos t,\sin t,t)\;.
  • O intervalo de parâmetro é \;t\in[0,2\pi]\;.
  • A pergunta é: qual é o trabalho realizado pelo campo ao percorrer essa curva (isto é, calcular o integral de linha apropriado)?

Passo 2

Definição e fórmula que usaremos: o trabalho realizado por um campo de forças \;F\; ao longo de uma curva orientada C parametrizada por \;r(t),\; a\le t\le b\; é
W=\int_{C} F\cdot \mathrm{d}r = \int_{a}^{b} F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,\mathrm{d}t.
Aqui:
  • \;r(t) é a posição da partícula em função do parâmetro t.
  • \;r'(t) é a velocidade vetorial (derivada componente a componente).
  • \;F(r(t))\cdot r'(t) é o produto escalar entre o campo avaliado na posição e a velocidade; integrando de a até b somamos as contribuições infinitesimais de trabalho.
    Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular \;r'(t) derivando cada componente de \;r(t)=(\cos t,\sin t,t)\; com respeito a t:
r'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;1\big).
Explicação: a derivada de \cos t é -\sin t, de \sin t é \cos t, e de t é 1. Isso é feito componente a componente.

Passo 4

Substituir a parametrização na função F para obter F(r(t)). Como F(x,y,z)=(2x,y,3z), ao substituir x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=t obtemos
F\big(r(t)\big)=\big(2\cos t,\;\sin t,\;3t\big).
Explicação: cada componente da força é avaliada na posição dada por r(t).

Passo 5

Calcular o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) componente a componente:
F(r(t))\cdot r'(t)=(2\cos t)(-\sin t)+(\sin t)(\cos t)+(3t)(1).
Agora simplificamos os dois primeiros termos:
(2\cos t)(-\sin t)+(\sin t)(\cos t) = -2\cos t\sin t + \cos t\sin t = -\cos t\sin t.
Portanto
F(r(t))\cdot r'(t) = -\cos t\sin t + 3t.
Observação: -\cos t\sin t também pode ser escrito como -\tfrac{1}{2}\sin 2t, se isso facilitar a integração.

Passo 6

Montar o integral do trabalho e calcular:
W=\int_{0}^{2\pi}\big(-\cos t\sin t + 3t\big)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{2\pi} -\cos t\sin t\,\mathrm{d}t + \int_{0}^{2\pi} 3t\,\mathrm{d}t.
Calculo do primeiro termo: usar primitiva direta (ou substituição). Seja u=\sin t, então \mathrm{d}u=\cos t\,\mathrm{d}t. Assim
\int -\cos t\sin t\,\mathrm{d}t = -\int u\,\mathrm{d}u = -\frac{u^2}{2} = -\frac{\sin^2 t}{2}.
Avaliado entre 0 e 2\pi: \sin^2(2\pi)=0 e \sin^2(0)=0, logo esse termo contribui 0.
Calculo do segundo termo:
\int_{0}^{2\pi} 3t\,\mathrm{d}t = 3\cdot\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{3}{2}(2\pi)^2 = \frac{3}{2}\cdot 4\pi^2 = 6\pi^2.
Somando as contribuições obtemos
W = 0 + 6\pi^2 = 6\pi^2.

Passo 7

Método alternativo (e que dá mais intuição): notar que o campo \;F(x,y,z)=(2x,y,3z)\; é conservativo, ou seja, existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=F. Verificação rápida do rotacional:
\nabla\times F = \big(\partial_y(3z)-\partial_z(y),\;\partial_z(2x)-\partial_x(3z),\;\partial_x(y)-\partial_y(2x)\big)=(0,0,0),
então o rotacional é nulo e, como o domínio é todo \mathbb{R}^3 (simplesmente conexo), F é conservativo. Encontramos \varphi integrando as componentes:
  • \partial_x\varphi = 2x \Rightarrow \varphi = x^2 + g(y,z).
  • \partial_y\varphi = y \Rightarrow g_y = y \Rightarrow g = \tfrac{y^2}{2} + h(z).
  • \partial_z\varphi = 3z \Rightarrow h'(z)=3z \Rightarrow h(z)=\tfrac{3}{2}z^2 + C.
    Logo
\varphi(x,y,z)=x^2 + \frac{y^2}{2} + \frac{3}{2}z^2 + C.
Para um campo conservativo, o trabalho entre dois pontos é a diferença de potencial:
W=\varphi\big(r(2\pi)\big)-\varphi\big(r(0)\big).
Aqui r(0)=(1,0,0) e r(2\pi)=(1,0,2\pi). Calculando:
\varphi(1,0,2\pi)=1^2+\tfrac{0^2}{2}+\tfrac{3}{2}(2\pi)^2 = 1 + 6\pi^2,
\varphi(1,0,0)=1^2+\tfrac{0^2}{2}+\tfrac{3}{2}\cdot 0^2 = 1.
Portanto W=(1+6\pi^2)-1=6\pi^2, mesmo resultado obtido antes. Comentário final: esse método é mais rápido quando o campo é conservativo; quando o campo não é conservativo ou a região não é simplesmente conexa, volta-se ao cálculo direto do integral de linha.

Passo 8

Resumo final e incentivo: calculamos cuidadosamente r'(t), avaliamos F ao longo da curva, fizemos o produto escalar e a integração — ou, mais elegantemente, usamos potencial para obter o mesmo resultado. Você conseguiu! Se ficou com dúvida em alguma etapa das derivadas, produto escalar ou verificação do rotacional, me fala que eu explico em mais detalhes com exemplos simples.

Resposta

6\pi^2

Exercícios relacionados