8- Determine o trabalho realizado pelo campo de forças
para deslocar uma partícula ao longo da curva C , de parametrização
, sent,
,
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças
ao deslocar uma partícula ao longo da curva
dada pela parametrização
com
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O campo é
. - A curva está parametrizada por
para . Aqui eu interpretei como (provavelmente houve um pequeno erro de digitação); portanto usarei . - O intervalo de parâmetro é
. - A pergunta é: qual é o trabalho realizado pelo campo ao percorrer essa curva (isto é, calcular o integral de linha apropriado)?
Passo 2
Definição e fórmula que usaremos: o trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva orientada
parametrizada por
é
Aqui:
-
é a posição da partícula em função do parâmetro . -
é a velocidade vetorial (derivada componente a componente). -
é o produto escalar entre o campo avaliado na posição e a velocidade; integrando de até somamos as contribuições infinitesimais de trabalho.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular
derivando cada componente de
com respeito a
:
Explicação: a derivada de
é
, de
é
, e de
é
. Isso é feito componente a componente.
Passo 4
Substituir a parametrização na função
para obter
. Como
, ao substituir
obtemos
Explicação: cada componente da força é avaliada na posição dada por
.
Passo 5
Calcular o produto escalar
componente a componente:
Agora simplificamos os dois primeiros termos:
Portanto
Observação:
também pode ser escrito como
, se isso facilitar a integração.
Passo 6
Montar o integral do trabalho e calcular:
Calculo do primeiro termo: usar primitiva direta (ou substituição). Seja
, então
. Assim
Avaliado entre
e
:
e
, logo esse termo contribui
.
Calculo do segundo termo:
Somando as contribuições obtemos
Passo 7
Método alternativo (e que dá mais intuição): notar que o campo
é conservativo, ou seja, existe uma função potencial
tal que
. Verificação rápida do rotacional:
então o rotacional é nulo e, como o domínio é todo
(simplesmente conexo),
é conservativo. Encontramos
integrando as componentes:
-
. -
. -
.
Logo
Para um campo conservativo, o trabalho entre dois pontos é a diferença de potencial:
Aqui
e
. Calculando:
Portanto
, mesmo resultado obtido antes. Comentário final: esse método é mais rápido quando o campo é conservativo; quando o campo não é conservativo ou a região não é simplesmente conexa, volta-se ao cálculo direto do integral de linha.
Passo 8
Resumo final e incentivo: calculamos cuidadosamente
, avaliamos
ao longo da curva, fizemos o produto escalar e a integração — ou, mais elegantemente, usamos potencial para obter o mesmo resultado. Você conseguiu! Se ficou com dúvida em alguma etapa das derivadas, produto escalar ou verificação do rotacional, me fala que eu explico em mais detalhes com exemplos simples.