Exercício 1 Verifique se cada uma das funções abaixo é um produto interno no espaço V indicado.
V=\mathscr{P}_{3} . f(p, q)=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}, em que p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} e q(x)=b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+b_{3} x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f dada é um produto interno no espaço V=\mathscr{P}_{3}. Dados fornecidos:
  • O espaço é V=\mathscr{P}_{3}, o espaço de polinômios com coeficientes (presumimos) reais e grau menor ou igual a 3.
  • Dois polinômios quaisquer são dados por
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}
e
q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3},
onde a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},b_{0},b_{1},b_{2},b_{3}\in\mathbb{R}.
  • A aplicação f:V\times V\to\mathbb{R} é definida por
f(p,q)=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
O que se deve responder: determinar se f satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno em V.

Passo 2

Lembrete didático — o que é preciso checar para ser produto interno (no caso real): para todo u,v,w\in V e todo escalar \alpha,\beta\in\mathbb{R}, f deve satisfazer as três propriedades abaixo:
  1. Positividade definida:
f(v,v)\ge 0\quad\text{e}\quad f(v,v)=0\iff v=0.
Explanação: isso garante que o “tamanho” definido por f seja não negativo e só zere no vetor nulo.
  1. Simetria:
f(u,v)=f(v,u).
Explanação: em espaços reais o produto interno é simétrico (em espaços complexos haveria conjugação).
  1. Linearidade no primeiro argumento:
f(\alpha u+\beta w,\,v)=\alpha f(u,v)+\beta f(w,v).
Explanação: significa que se eu somar ou multiplicar vetores por escalares antes de aplicar f, isso se espalha de forma linear.
Observação: se f for simétrico e linear no primeiro argumento em \mathbb{R}, então também é linear no segundo argumento, ou seja, é bilinear simétrica.

Passo 3

Verificação da simetria.
Compute f(p,q) usando a definição:
f(p,q)=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Troque os papéis de p e q; os coeficientes se trocam de letra:
f(q,p)=b_{0}a_{0}+b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+b_{3}a_{3}.
Como a multiplicação real é comutativa, a_{i}b_{i}=b_{i}a_{i} para cada i. Portanto
f(p,q)=f(q,p).
Conclusão deste passo: a propriedade de simetria está satisfeita.

Passo 4

Verificação da linearidade no primeiro argumento.
Seja r(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}\in V e \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Considere o polinómio \alpha p+\beta r. Seus coeficientes são \alpha a_{i}+\beta c_{i} para i=0,1,2,3. Então, aplicando f com q,
f(\alpha p+\beta r,\;q) =(\alpha a_{0}+\beta c_{0})b_{0}+(\alpha a_{1}+\beta c_{1})b_{1}+(\alpha a_{2}+\beta c_{2})b_{2}+(\alpha a_{3}+\beta c_{3})b_{3}.
Agora distribuindo cada produto e agrupando os termos com \alpha e \beta,
f(\alpha p+\beta r,\;q) =\alpha(a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}) +\beta(c_{0}b_{0}+c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}).
Pelo reconhecimento das definições,
f(\alpha p+\beta r,\;q)=\alpha f(p,q)+\beta f(r,q).
Conclusão deste passo: a linearidade no primeiro argumento está satisfeita. (Como f é também simétrica, ela é linear no segundo argumento também.)

Passo 5

Verificação da positividade definida.
Calcule f(p,p):
f(p,p)=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.
Propriedades usadas: para todo real t, tem-se t^{2}\ge 0. Logo a soma de quadrados é não negativa, então f(p,p)\ge 0.
Agora, f(p,p)=0 implica que cada termo a_{i}^{2}=0, portanto cada a_{i}=0. Assim todos os coeficientes são zero e p é o polinômio zero. Recíproco: se p é o polinômio zero então claramente f(p,p)=0. Assim
f(p,p)=0 \iff p=0.
Conclusão deste passo: a positividade definida está satisfeita.

Passo 6

Comentário prático e exemplo rápido (para fixar a ideia): se você identificar um polinômio p com o vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}), então f(p,q) é exatamente o produto escalar usual desses vetores. Por exemplo, para p(x)=1+x e q(x)=1-x (ou seja, (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=(1,1,0,0) e (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})=(1,-1,0,0)),
f(p,q)=1\cdot 1 + 1\cdot(-1)+0+0=0.
Isso mostra como calcular na prática no tempo da prova: escreva os coeficientes em vetor e faça o produto componente a componente.

Passo 7

Conclusão final da verificação: mostramos que f satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida. Portanto f é um produto interno em V=\mathscr{P}_{3}.

Resposta

Sim. f é um produto interno em V=\mathscr{P}_{3}.

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