Exercício 1 Verifique se cada uma das funções abaixo é um produto interno no espaço
indicado.
, em que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
dada é um produto interno no espaço
. Dados fornecidos:
- O espaço é
, o espaço de polinômios com coeficientes (presumimos) reais e grau menor ou igual a . - Dois polinômios quaisquer são dados por
e
onde
.
- A aplicação
é definida por
O que se deve responder: determinar se
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno em
.
Passo 2
Lembrete didático — o que é preciso checar para ser produto interno (no caso real): para todo
e todo escalar
,
deve satisfazer as três propriedades abaixo:
- Positividade definida:
Explanação: isso garante que o “tamanho” definido por
seja não negativo e só zere no vetor nulo.
- Simetria:
Explanação: em espaços reais o produto interno é simétrico (em espaços complexos haveria conjugação).
- Linearidade no primeiro argumento:
Explanação: significa que se eu somar ou multiplicar vetores por escalares antes de aplicar
, isso se espalha de forma linear.
Observação: se
for simétrico e linear no primeiro argumento em
, então também é linear no segundo argumento, ou seja, é bilinear simétrica.
Passo 3
Verificação da simetria.
Compute
usando a definição:
Troque os papéis de
e
; os coeficientes se trocam de letra:
Como a multiplicação real é comutativa,
para cada
. Portanto
Conclusão deste passo: a propriedade de simetria está satisfeita.
Passo 4
Verificação da linearidade no primeiro argumento.
Seja
e
. Considere o polinómio
. Seus coeficientes são
para
. Então, aplicando
com
,
Agora distribuindo cada produto e agrupando os termos com
e
,
Pelo reconhecimento das definições,
Conclusão deste passo: a linearidade no primeiro argumento está satisfeita. (Como
é também simétrica, ela é linear no segundo argumento também.)
Passo 5
Verificação da positividade definida.
Calcule
:
Propriedades usadas: para todo real
, tem-se
. Logo a soma de quadrados é não negativa, então
.
Agora,
implica que cada termo
, portanto cada
. Assim todos os coeficientes são zero e
é o polinômio zero. Recíproco: se
é o polinômio zero então claramente
. Assim
Conclusão deste passo: a positividade definida está satisfeita.
Passo 6
Comentário prático e exemplo rápido (para fixar a ideia): se você identificar um polinômio
com o vetor de coeficientes
, então
é exatamente o produto escalar usual desses vetores. Por exemplo, para
e
(ou seja,
e
),
Isso mostra como calcular na prática no tempo da prova: escreva os coeficientes em vetor e faça o produto componente a componente.
Passo 7
Conclusão final da verificação: mostramos que
satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida. Portanto
é um produto interno em
.
Resposta
Sim.
é um produto interno em
.