Exercício 5. Verifique que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o limite
não existe. Informações dadas e o que precisamos observar:
- A função é
para . - O ponto de interesse é
. - Precisamos mostrar que, ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, o valor de não se aproxima de um mesmo número (ou que é incompatível com a existência de um limite finito).
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): para que exista
é necessário que, para qualquer sequência
(ou qualquer caminho que leve a
), os valores
tendam ao mesmo número
. Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que chegam a
e levaram a resultados diferentes (por exemplo, um caminho que dá
e outro que diverge ou dá outro número). Se encontrarmos isso, o limite não existe.
Passo 3
Teste pelo caminho
. Substituindo
em
:
Logo, ao aproximar
(ou seja,
com
), obtemos
Portanto há pelo menos um caminho cujo limite é
.
Passo 4
Agora procuro um caminho que dê um comportamento diferente. Uma boa ideia é escolher uma relação entre
e
que faça os dois termos do denominador terem a mesma ordem de grandeza quando
. Como o denominador tem
e
, se eu tomar
proporcional a
então
será proporcional a
. Então escolho o caminho
com
constante. Substituo na função:
Portanto, ao longo de
(com
),
Passo 5
Análise do comportamento encontrado: a expressão ao longo de
é
- Se faço
(aproximação por valores positivos de ), então e, como , temos . - Se faço
, então , logo .
Em particular, para o caminho
(caso
) temos
enquanto pelo caminho
já vimos que o limite é
. Como uma aproximação (por caminhos) dá
e outra dá divergência para
(ou
), os resultados são incompatíveis com a existência de um limite finito comum.
Passo 6
Interpretação intuitiva (didática): olhando ordens de magnitude, sobre a curva
o denominador tem ordem
(pois
), enquanto o numerador tem ordem
. Então a razão tem ordem
, que diverge quando
. Já na reta
o numerador é exatamente zero, dando limite
. Esses comportamentos contraditórios mostram que não há um único número
que seja limite da função em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe.