Exercício 5. Verifique que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y^{2}}{x^{8}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}y^{2}}{x^{8}+y^{4}}
não existe. Informações dadas e o que precisamos observar:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}y^{2}}{x^{8}+y^{4}} para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Precisamos mostrar que, ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos, o valor de f(x,y) não se aproxima de um mesmo número (ou que é incompatível com a existência de um limite finito).

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): para que exista
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
é necessário que, para qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) (ou qualquer caminho que leve a (0,0)), os valores f(x_n,y_n) tendam ao mesmo número L. Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que chegam a (0,0) e levaram a resultados diferentes (por exemplo, um caminho que dá 0 e outro que diverge ou dá outro número). Se encontrarmos isso, o limite não existe.

Passo 3

Teste pelo caminho y=0. Substituindo y=0 em f:
f(x,0)=\frac{x^{3}\cdot 0^{2}}{x^{8}+0^{4}}=\frac{0}{x^{8}}=0\quad\text{para }x\neq0.
Logo, ao aproximar (x,0)\to(0,0) (ou seja, x\to0 com y=0), obtemos
\lim_{x\to0} f(x,0)=0.
Portanto há pelo menos um caminho cujo limite é 0.

Passo 4

Agora procuro um caminho que dê um comportamento diferente. Uma boa ideia é escolher uma relação entre y e x que faça os dois termos do denominador terem a mesma ordem de grandeza quando x\to0. Como o denominador tem x^{8} e y^{4}, se eu tomar y proporcional a x^{2} então y^{4} será proporcional a x^{8}. Então escolho o caminho
y=kx^{2},
com k\neq0 constante. Substituo na função:
\text{Numerador: } x^{3}y^{2}=x^{3}\cdot (kx^{2})^{2}=x^{3}\cdot k^{2}x^{4}=k^{2}x^{7}.
\text{Denominador: } x^{8}+y^{4}=x^{8}+(kx^{2})^{4}=x^{8}+k^{4}x^{8}=x^{8}(1+k^{4}).
Portanto, ao longo de y=kx^{2} (com k\neq0),
f(x,kx^{2})=\frac{k^{2}x^{7}}{x^{8}(1+k^{4})}=\frac{k^{2}}{1+k^{4}}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Análise do comportamento encontrado: a expressão ao longo de y=kx^{2} é
f(x,kx^{2})=\frac{k^{2}}{1+k^{4}}\cdot\frac{1}{x}.
  • Se faço x\to0^{+} (aproximação por valores positivos de x), então \dfrac{1}{x}\to +\infty e, como \dfrac{k^{2}}{1+k^{4}}>0, temos f(x,kx^{2})\to +\infty.
  • Se faço x\to0^{-}, então \dfrac{1}{x}\to -\infty, logo f(x,kx^{2})\to -\infty.
Em particular, para o caminho y=x^{2} (caso k=1) temos
\lim_{x\to0^{+}} f(x,x^{2})=+\infty,
enquanto pelo caminho y=0 já vimos que o limite é 0. Como uma aproximação (por caminhos) dá 0 e outra dá divergência para +\infty (ou -\infty), os resultados são incompatíveis com a existência de um limite finito comum.

Passo 6

Interpretação intuitiva (didática): olhando ordens de magnitude, sobre a curva y\sim x^{2} o denominador tem ordem x^{8} (pois y^{4}\sim x^{8}), enquanto o numerador tem ordem x^{7}. Então a razão tem ordem x^{7}/x^{8}=1/x, que diverge quando x\to0. Já na reta y=0 o numerador é exatamente zero, dando limite 0. Esses comportamentos contraditórios mostram que não há um único número L que seja limite da função em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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