Exercício 5. Verifique que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o limite
não existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O ponto de interesse é
. - A função é
. - No ponto
, o numerador vale . - No ponto
, o denominador vale .
Ou seja, ao avaliar diretamente obtemos a forma indeterminadaem .
Passo 2
Explicação didática do que vamos usar (sem resolver ainda): quando o limite de uma função de duas variáveis em um ponto dá
, o valor limite pode depender do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas trajetórias distintas que levam ao mesmo ponto mas produzem limites diferentes para a expressão. Se isso ocorrer, então o limite geral não existe.
Passo 3
Escolhemos uma família de trajetórias simples que passam por
e que nos permite controlar a velocidade com que
tende a zero. Vamos aproximar
de
por retas que têm inclinação ajustável em relação ao ponto. Para isso, fixamos um parâmetro
e tomamos
onde
. Observação: com essa escolha temos
Portanto, à medida que
, o par
tende a
e a diferença
tende a zero proporcionalmente a
. O parâmetro
identifica diferentes retas passando por
: para cada
essa é uma trajetória.
Passo 4
Substituímos
e
na expressão
Vamos calcular o numerador primeiro, com todas as etapas explicadas:
Expandindo passo a passo:
E
Subtraindo,
Agora simplificamos os termos semelhantes:
Passo 5
Continuando a simplificação do numerador:
Logo
Lembre-se do denominador calculado no Passo 3:
Passo 6
Agora formamos a razão e simplificamos, dividindo por
(para
primeiro):
Dividindo termo a termo por
:
Agora tomamos o limite quando
(para um
fixo e
). O termo com
desaparece, ficando
Portanto, para cada
essa trajetória dá um limite dependente de
.
Passo 7
Mostramos que escolhas diferentes de
produzem limites diferentes. Por exemplo:
- Para
:
- Para
:
Como as duas trajetórias (correspondentes a
e
) levam ao mesmo ponto
mas produzem limites distintos (
e
), concluímos que o limite geral não pode existir.
Observação sobre
: se
a trajetória é
, nessa reta o denominador é zero identicamente e a expressão não está definida na vizinhança; isso apenas confirma que precisamos evitar aproximar exatamente por essa reta se quisermos valores numéricos; já mostramos suficientes trajetórias válidas (
e
) para provar a não existência do limite.
Passo 8
Conclusão lógica e intuitiva: como encontramos duas trajetórias que chegam a
e dão limites diferentes para a expressão, o limite bidimensional pedido não existe. Isso é suficiente e padrão para provar a não existência de limites em funções de duas variáveis.
Resposta
O limite não existe.