Exercício 5. Verifique que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,4)} \frac{8 x-y^{2}}{y-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o limite
\lim_{(x,y)\to(2,4)} \frac{8x - y^{2}}{y - 2x}
não existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O ponto de interesse é (2,4).
  • A função é \dfrac{8x - y^{2}}{y - 2x}.
  • No ponto (2,4), o numerador vale 8\cdot 2 - 4^{2} = 16-16=0.
  • No ponto (2,4), o denominador vale 4 - 2\cdot 2 = 4-4=0.
    Ou seja, ao avaliar diretamente obtemos a forma indeterminada 0/0 em (2,4).

Passo 2

Explicação didática do que vamos usar (sem resolver ainda): quando o limite de uma função de duas variáveis em um ponto dá 0/0, o valor limite pode depender do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas trajetórias distintas que levam ao mesmo ponto mas produzem limites diferentes para a expressão. Se isso ocorrer, então o limite geral não existe.

Passo 3

Escolhemos uma família de trajetórias simples que passam por (2,4) e que nos permite controlar a velocidade com que y-2x tende a zero. Vamos aproximar (x,y) de (2,4) por retas que têm inclinação ajustável em relação ao ponto. Para isso, fixamos um parâmetro m\in\mathbb{R} e tomamos
x = 2 + s,\qquad y = 4 + (2+m)s,
onde s\to 0. Observação: com essa escolha temos
y - 2x = \big(4 + (2+m)s\big) - 2\big(2 + s\big) = m s.
Portanto, à medida que s\to 0, o par (x,y) tende a (2,4) e a diferença y-2x tende a zero proporcionalmente a m s. O parâmetro m identifica diferentes retas passando por (2,4): para cada m essa é uma trajetória.

Passo 4

Substituímos x=2+s e y=4+(2+m)s na expressão
\frac{8x - y^{2}}{y - 2x}.
Vamos calcular o numerador primeiro, com todas as etapas explicadas:
8x - y^{2}=8(2+s)-\big(4+(2+m)s\big)^{2}.
Expandindo passo a passo:
8(2+s)=16+8s.
E
\big(4+(2+m)s\big)^{2}=16+2\cdot 4\cdot(2+m)s+\big((2+m)s\big)^{2}=16+8(2+m)s+(2+m)^{2}s^{2}.
Subtraindo,
8x - y^{2}=(16+8s)-\big(16+8(2+m)s+(2+m)^{2}s^{2}\big).
Agora simplificamos os termos semelhantes:
8x - y^{2}=8s - 8(2+m)s - (2+m)^{2}s^{2}.

Passo 5

Continuando a simplificação do numerador:
8s - 8(2+m)s = 8s\big(1-(2+m)\big)=8s(-1-m)=-8(1+m)s.
Logo
8x - y^{2} = -8(1+m)s - (2+m)^{2}s^{2}.
Lembre-se do denominador calculado no Passo 3:
y - 2x = m s.

Passo 6

Agora formamos a razão e simplificamos, dividindo por m s (para m\neq 0 primeiro):
\frac{8x - y^{2}}{y - 2x} = \frac{-8(1+m)s - (2+m)^{2}s^{2}}{m s}.
Dividindo termo a termo por m s:
\frac{8x - y^{2}}{y - 2x} = -\frac{8(1+m)}{m} - \frac{(2+m)^{2}}{m}\,s.
Agora tomamos o limite quando s\to 0 (para um m fixo e m\neq 0). O termo com s desaparece, ficando
\lim_{s\to 0}\frac{8x - y^{2}}{y - 2x} = -\frac{8(1+m)}{m}.
Portanto, para cada m\neq 0 essa trajetória dá um limite dependente de m.

Passo 7

Mostramos que escolhas diferentes de m produzem limites diferentes. Por exemplo:
  • Para m=1:
-\frac{8(1+m)}{m} = -\frac{8(1+1)}{1} = -16.
  • Para m=2:
-\frac{8(1+m)}{m} = -\frac{8(1+2)}{2} = -\frac{8\cdot 3}{2} = -12.
Como as duas trajetórias (correspondentes a m=1 e m=2) levam ao mesmo ponto (2,4) mas produzem limites distintos ( -16 e -12), concluímos que o limite geral não pode existir.
Observação sobre m=0: se m=0 a trajetória é y=2x, nessa reta o denominador é zero identicamente e a expressão não está definida na vizinhança; isso apenas confirma que precisamos evitar aproximar exatamente por essa reta se quisermos valores numéricos; já mostramos suficientes trajetórias válidas ( m=1 e m=2) para provar a não existência do limite.

Passo 8

Conclusão lógica e intuitiva: como encontramos duas trajetórias que chegam a (2,4) e dão limites diferentes para a expressão, o limite bidimensional pedido não existe. Isso é suficiente e padrão para provar a não existência de limites em funções de duas variáveis.

Resposta

O limite não existe.

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